UVa 1623 Enter The Dragon

原创已于 2025-11-27 08:15:25 修改 · 592 阅读

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#算法 #c++ #青少年编程

于 2025-11-25 20:09:00 首次发布

贪心算法专栏收录该内容

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题目描述

阿德尼亚首都周围有 $n$ 个湖泊，每个湖泊初始都是满的。预计未来 $m$ 天将有强降雨，每天的天气预报由一个序列 $t1,t2,…,tmt_1, t_2, \ldots, t_m$ 表示：

如果 $ti∈[1,n]t_i \in [1, n]$ ，表示第 $i$ 天在湖泊 $t_i$ 上有强降雨
如果 $t_i = 0$ ，表示第 $i$ 天没有雨，龙可以喝干一个湖泊的水

降雨规则：

如果湖泊是空的，下雨后会被填满
如果湖泊是满的，下雨会导致溢出，引发自然灾害

目标：确定龙在非雨天的喝水策略，防止任何湖泊溢出。

输入格式

第一行：测试用例数 $\leq 40$
每个测试用例：
- 第一行： $\leq 10^6$ 和 $\leq 10^6$
- 第二行： $m$ 个整数表示天气预报

输出格式

如果可以防止溢出：输出 YES，第二行输出每个非雨天喝水的湖泊编号（ $0$ 表示不喝水）
否则：输出 NO

题目分析

关键观察

初始状态：所有湖泊都是满的
第一次下雨：由于湖泊初始是满的，第一次下雨时必须提前喝掉该湖泊的水
后续下雨：每次下雨时，如果湖泊是满的，必须在上次下雨后和这次下雨前喝掉水
喝水时机：龙只能在非雨天（ $t_i = 0$ ）喝水

问题转化

将问题转化为区间匹配问题：

对于每个湖泊，生成一系列必须喝水的时间区间
每个区间需要匹配一个在区间内的非雨天
每个非雨天只能被使用一次

区间定义

对于湖泊 $l ak e$ ，设其下雨时间为： $time1,time2,…,timektime_1, time_2, \ldots, time_k$

需要喝水的区间为：

$1, time_1 - 1]$ ：在第一次下雨前喝掉
$time_1 + 1, time_2 - 1]$ ：在第一次和第二次下雨之间喝掉
$…\ldots$
$time_{k-1} + 1, time_k - 1]$ ：在倒数第二次和最后一次下雨之间喝掉

重要：如果某个区间无效（左端点 > 右端点），说明两次下雨之间没有非雨天，必然溢出。

解题思路

算法选择：贪心算法

这是一个经典的区间点覆盖问题，使用贪心算法：

区间生成：为每个湖泊生成所有有效的喝水区间
区间排序：按右端点升序排序
贪心匹配：为每个区间分配最小的可用非雨天

贪心正确性证明

右端点最小的区间最"紧急"
为它选择最小的可用点，不会使后续区间失去覆盖机会
如果选择较大的点，可能使后续区间失去唯一的覆盖机会

算法步骤

预处理：
- 收集所有非雨天的位置
- 记录每个湖泊的所有下雨时间
区间生成：
- 对于每个湖泊，生成所有有效的喝水区间
- 检查区间有效性，发现无效区间立即返回 NO
贪心匹配：
- 区间按右端点排序
- 维护可用非雨天的有序集合
- 对于每个区间 $[L, R]$ ：
  - 找到 $≥L\geq L$ 的最小非雨天
  - 如果该点 $≤R\leq R$ ，使用它并从集合中移除
  - 否则返回 NO
结果构建：记录每个非雨天喝水的湖泊

复杂度分析

时间复杂度： $\log m)$
- 预处理： $O (m)$
- 排序： $\log k)$ ，其中 $\leq m$
- 贪心匹配： $\log m)$
空间复杂度： $O (n + m)$

参考代码

// Enter The Dragon
// UVa ID: 1623
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-11-25
// UVa Run Time: 0.730s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

vector<int> solveTestCase(int n, int m, vector<int>& forecast) {
    vector<int> drys, result;
    vector<vector<int>> rains(n + 1);
    
    // 收集非雨天和下雨信息
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        if (forecast[i] == 0) drys.push_back(i + 1);
        else rains[forecast[i]].push_back(i + 1);
    }
    
    result.resize(drys.size(), 0);
    set<int> drySet(drys.begin(), drys.end());
    vector<pair<int, pair<int, int>>> tasks;
    
    // 为每个湖泊生成喝水任务
    for (int lake = 1; lake <= n; lake++) {
        if (rains[lake].empty()) continue;
        for (int i = 0; i < rains[lake].size(); i++) {
            // 计算区间左右端点
            int left = (i == 0) ? 1 : rains[lake][i - 1] + 1;
            int right = rains[lake][i] - 1;
            // 检查区间有效性
            if (left > right) return vector<int>();
            tasks.push_back(make_pair(right, make_pair(left, lake)));
        }
    }
    
    // 按右端点排序
    sort(tasks.begin(), tasks.end());
    
    // 贪心匹配
    for (auto task : tasks) {
        int right = task.first;
        int left = task.second.first;
        int lake = task.second.second;
        // 找到在区间内的最小可用非雨天
        auto it = drySet.lower_bound(left);
        if (it == drySet.end() || *it > right) return vector<int>();
        int dryDay = *it;
        drySet.erase(it);
        // 记录匹配结果
        result[lower_bound(drys.begin(), drys.end(), dryDay) - drys.begin()] = lake;
    }
    
    return result;
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    
    int Z;
    cin >> Z;
    
    while (Z--) {
        int n, m;
        cin >> n >> m;
        vector<int> forecast(m);
        for (int i = 0; i < m; i++) cin >> forecast[i];
        
        vector<int> result = solveTestCase(n, m, forecast);
        
        if (result.empty()) cout << "NO\n";
        else {
            cout << "YES\n";
            for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
                if (i > 0) cout << " ";
                cout << result[i];
            }
            cout << "\n";
        }
    }
    
    return 0;
}