UVa 10488 Swimming Gopher

题目描述

一只囊地鼠需要从起点 $(x_s,y_s)$ 移动到终点 $(x_t,y_t)$，途中会遇到多个被水淹没的沟渠。坐标系中，$x$ 轴从西向东，$y$ 轴从南向北。

干燥陆地的分布有特殊的规律：对于任意整数 $n$，当 $n\times D+L\le y\le (n+1)\times D-L$ 时，点 $(x,y)$ 位于干燥陆地上。沟渠位于这些干燥带之间，每条沟渠的宽度为 $2L$。

囊地鼠的目标是：

1. 最小化游泳距离（穿过沟渠的总宽度）
2. 在满足条件 $1$ 的前提下，最小化在干燥陆地上的行走距离

给定 $D$, $L$, $x_s$, $y_s$, $x_t$, $y_t$，求囊地鼠的最优路线。

输入格式

每行包含 $6$ 个实数：$D$, $L$, $x_s$, $y_s$, $x_t$, $y_t$。

输出格式

对于每组输入，输出一行，格式为：

The gopher has to swim {swim_dist} meters and walk {walk_dist} meters.

题目分析

关键观察

1. 游泳距离的确定性：

   • 游泳距离只取决于必须穿过的沟渠数量
   • 从起点所在的带到终点所在的带，必须穿过 $k=|n_s-n_t|$ 条沟渠
   • 每条沟渠宽度为 $2L$，因此最小游泳距离为 $k\times 2L$

2. 几何本质：

   • 为了保持最小游泳距离，必须在每个沟渠处垂直游泳
   • 这相当于将每个游泳段"压缩"掉，将终点向起点方向移动总游泳距离
   • 最优行走路径就是连接起点和虚拟终点的直线

数学模型

设起点所在的带编号为 $n_s=\lfloor y_s/D\rfloor$，终点所在的带编号为 $n_t=\lfloor y_t/D\rfloor$，则：

• 必须穿过的沟渠数量：$k=|n_s-n_t|$
• 游泳距离：$swim=k\times 2L$
• 虚拟终点的 $y$ 坐标：
  • 如果 $n_s<n_t$（向上走）：$y_v=y_t-k\times 2L$
  • 如果 $n_s>n_t$（向下走）：$y_v=y_t+k\times 2L$
  • 如果 $n_s=n_t$：$y_v=y_t$
• 行走距离：$walk=\sqrt{(x_t-x_s{)}^2+(y_v-y_s{)}^2}$

算法思路

1. 计算起点和终点所在的带编号
2. 计算必须穿过的沟渠数量 $k$
3. 计算游泳距离 $k\times 2L$
4. 根据行进方向计算虚拟终点的 $y$ 坐标
5. 计算起点到虚拟终点的欧几里得距离作为行走距离

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$，只有常数次计算
• 空间复杂度：$O(1)$，只使用常数个变量

代码实现

// Swimming Gopher
// UVa ID: 10488
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-11-16
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    double D, L, xs, ys, xt, yt;
    while (cin >> D >> L >> xs >> ys >> xt >> yt) {
        int k = abs((int)floor(ys / D) - (int)floor(yt / D));
        double swim = k * 2 * L;
        double yv = yt - (yt > ys ? k * 2 * L : -k * 2 * L);
        double walk = hypot(xt - xs, yv - ys);
        printf("The gopher has to swim %.2lf meters and walk %.2lf meters.\n", swim, walk);
    }
    return 0;
}

样例验证

样例1

输入：100.0 10.0 0.0 50.0 100.0 50.0
输出：The gopher has to swim 0.00 meters and walk 100.00 meters.

• 起点和终点在同一带，无需游泳
• 行走距离为直线距离 $100.00$

样例2

输入：100.0 10.0 0.0 50.0 100.0 150.0
输出：The gopher has to swim 20.00 meters and walk 128.06 meters.

• $k=1$，游泳距离 $20.00$
• 虚拟终点 $y$ 坐标：$150-20=130$
• 行走距离：$\sqrt{100^2+(130-50{)}^2}=\sqrt{10000+6400}\approx 128.06$

样例3

输入：100.0 10.0 0.0 -50.0 100.0 50.0
输出：The gopher has to swim 20.00 meters and walk 128.06 meters.

• $k=1$，游泳距离 $20.00$
• 虚拟终点 $y$ 坐标：$50-20=30$
• 行走距离：$\sqrt{100^2+(30-(-50){)}^2}=\sqrt{10000+6400}\approx 128.06$

样例4

输入：100.0 10.0 0.0 -50.0 100.0 150.0
输出：The gopher has to swim 40.00 meters and walk 188.68 meters.

• $k=2$，游泳距离 $40.00$
• 虚拟终点 $y$ 坐标：$150-40=110$
• 行走距离：$\sqrt{100^2+(110-(-50){)}^2}=\sqrt{10000+25600}\approx 188.68$

总结

本题的关键在于理解几何变换的本质：将固定的游泳距离"压缩"后，问题转化为在干燥陆地上寻找起点到虚拟终点的最短直线路径。这种思路不仅简化了计算，还体现了优化问题中常见的"问题转化"思想。