UVa 12034 Race

原创已于 2025-10-24 09:39:14 修改 · 781 阅读

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#算法 #1024程序员节

于 2025-10-16 13:05:28 首次发布

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题目描述

有 $n$ 匹马参加比赛，比赛结束后可能有多匹马获得相同的名次（并列）。要求计算所有可能的名次排列方式的总数，结果对 $10056$ 取模。

输入格式

第一行是测试用例数量 $T$ （ $\leq 1000$ ）
每个测试用例一行，包含一个整数 $n$ （ $\leq n \leq 1000$ ）

输出格式

对每个测试用例，输出 Case i: result，其中 result 是名次排列方式数模 $10056$ 的结果

样例

输入：
3
1
2
3

输出：
Case 1: 1
Case 2: 3
Case 3: 13

题目分析

问题本质

这个问题可以转化为：将 $n$ 个不同的马匹划分成若干个非空组（每个组代表一个名次），并且这些组是有顺序的（名次有先后顺序）。

例如 $n = 2$ 时：

两匹马并列第一： $(1, 1)$
马 $A\texttt{A}$ 第一，马 $B\texttt{B}$ 第二： $(1, 2)$
马 $B\texttt{B}$ 第一，马 $A\texttt{A}$ 第二： $(2, 1)$

总共 $3$ 种方式。

数学建模

设 $d p [n]$ 表示 $n$ 匹马的所有可能名次排列数。

考虑第一名的情况：

第一名可能有 $j$ 匹马并列（ $\leq j \leq n$ ）
从 $n$ 匹马中选择 $j$ 匹作为第一名，有 $(nj)\binom{n}{j}$ 种选法
剩下的 $n - j$ 匹马排在后面的名次，排列方式数为 $d p [n - j]$

因此得到递推关系：
$\sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j} \cdot dp[n-j]$
其中 $d p [0] = 1$ （没有马时视为 $1$ 种排列方式）。

验证递推公式

$d p [0] = 1$
$\binom{1}{1} \cdot dp[0] = 1 \cdot 1 = 1$
$\binom{2}{1} \cdot dp[1] + \binom{2}{2} \cdot dp[0] = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3$
$\binom{3}{1} \cdot dp[2] + \binom{3}{2} \cdot dp[1] + \binom{3}{3} \cdot dp[0] = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 13$

与题目样例完全一致。

算法设计

预处理组合数：使用帕斯卡公式计算 $10056\binom{n}{k} \bmod 10056$
$\bmod M$
其中 $C [0] [0] = 1$
动态规划计算：按递推公式计算 $d p [n]$
$\sum_{j=1}^{i} C[i][j] \cdot dp[i-j] \bmod M$
查询输出：对每个测试用例直接输出 $d p [n]$

时间复杂度：预处理 $O(n^2)$ ，查询 $O (1)$ ，总复杂度 $O(n^2)$ ，对于 $\leq 1000$ 完全可行。

C++ 代码实现

// Race
// UVa ID: 12034
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-16
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int MOD = 10056;  // 模数
const int MAXN = 1000;  // 最大n值

int C[MAXN + 5][MAXN + 5];  // 组合数表
int ways[MAXN + 5];         // dp数组，存储n匹马的结果数

void init() {
    // 预处理组合数C(n,k) mod MOD
    for (int i = 0; i <= MAXN; i++) {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;  // 边界条件
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            // 帕斯卡公式
            C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % MOD;
        }
    }

    // 动态规划计算ways数组
    ways[0] = 1;  // 没有马时算1种方式
    for (int i = 1; i <= MAXN; i++) {
        ways[i] = 0;
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            // 递推公式：枚举第一名有j匹马
            ways[i] = (ways[i] + C[i][j] * ways[i - j]) % MOD;
        }
    }
}

int main() {
    init();  // 预处理
    
    int T;
    cin >> T;  // 测试用例数
    for (int tc = 1; tc <= T; tc++) {
        int n;
        cin >> n;  // 马匹数
        // 输出结果
        cout << "Case " << tc << ": " << ways[n] << endl;
    }
    return 0;
}