数据结构——二叉数的遍历

二叉树的定义

二叉树的定义

二叉树是一种特殊的树，最多只能有两棵子树，且子树有左右之分，不能颠倒

特殊的二叉树

• 满二叉树
  • 一棵高度为h，且含有$2^h-1$个结点的二叉树称为满二叉树，即树中的每层都含有最多的结点
  • 可对满二叉树自上而下，自左向右编号（根结点编号为1）
  • 对于编号为i的结点，若有双亲，则其双亲为$\lfloor i/2\rfloor$；若有左孩子，则左孩子为2i；若有右孩子，则右孩子为2i+1
• 完全二叉树
  • 高度为h、有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与高度为h的满二叉树中编号1~n的结点一一对应时，称为完全二叉树

二叉树的性质

• 非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点数加1
• 非空二叉树第$k$层上至多有$2^{k-1}$个结点
• 高度为$h$的二叉树至多有$2^h-1$个结点
• 具有n个结点的完全二叉树的高度为$\lceil {\log }_2(n+1)\rceil$或者$\lfloor {\log }_2(n)\rfloor +1$

二叉树的存储结构

顺序存储结构

• 存储在数组中
• 适合存储完全二叉树或满二叉树
• 编号与完全二叉树对应，可利用数组下标确定结点在二叉树中的位置

链式存储结构

typedef struct BiTNode{
	ElemType data;
	struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;

• 在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域

二叉树的遍历

先序遍历

操作过程

若二叉树为空，则什么也不做，否则：

1. 访问根节点
2. 先序遍历左子树
3. 先序遍历右子树

代码实现（递归）

void PreOrder(BiTree T){
	if(T != NULL){
		visit(T);
		PreOrder(T->lchild);
		PreOrder(T->rchild);
	}
}

代码实现（非递归）

版本一：调用栈相关函数，易理解

void PreOrder1(BiTree T){
	InitStack(S);
	BiTree p = T;
	while(p || !IsEmpty(S)){
		if(p){
			visit(p);
			Push(S, p);
			p = p->lchild;
		}else{
			Pop(S, p);
			p = p->rchild;
		}
	}
}

版本二：无调用

void PreOrder2(BiTree T){
    BiTree p;
    BiTNode *s_pre[MaxSize];
    int top = -1;
    if(T != NULL){
        p = T;
        while(top > -1 || p != NULL){
            while(p != NULL){
                printf("%d ", p->data);
                s_pre[++top] = p;
                p = p->lchild;
            }
            if(top > -1){
                p = s_pre[top--];
                p = p->rchild;
            }
        }
    }
    printf("\n");
}

后序遍历

若二叉树为空，则什么也不做，否则：

1. 后序遍历左子树
2. 后序遍历右子树
3. 访问根节点

操作过程

代码实现（递归）

void PostOrder(BiTree T){
	if(T != NULL){
		PreOrder(T->lchild);
		PreOrder(T->rchild);
		visit(T);
	}
}

代码实现（非递归）

void PostOrder1(BiTree T){
	InitStack(S);
	p = T;
	r = NULL;	// 记录最近访问过的结点
	while(p || !IsEmpty(S)){
		if(p){
			Push(S, p);
			p = p->lchild;
		}else{
			GetTop(S, p);
			if(p->rchild && p->rchild != r){	// 若右子树存在且未被访问过
				p = p->rchild;
			}else{								// 否则，弹出根结点，并访问
				Pop(S, p);
				visit(p);
				r = p;
				p = NULL;			// 重置p指针
			}
		}
	}
}

中序遍历

操作过程

若二叉树为空，则什么也不做，否则：

1. 后序遍历左子树
2. 访问根节点
3. 后序遍历右子树

代码实现（递归）

void InOrder(BiTree T){
	if(T != NULL){
		PreOrder(T->lchild);
		visit(T);
		PreOrder(T->rchild);
	}
}

代码实现（非递归）

版本一：调用栈相关函数，易理解

void InOrder1(BiTree T){
	InitStack(S);
	BiTree p = T;
	while(p || !IsEmpty(S)){
		if(p){
			Push(S, p);
			p = p->lchild;
		}else{
			Pop(S, p);
			visit(p);
			p = p->rchild;
		}
	}
}

版本二：无调用

void InOrder2(BiTree T){
    BiTree p;
    BiTNode *s_in[MaxSize];
    int top = -1;
    if(T != NULL){
        p = T;
        while(top>-1 || p != NULL){
            while(p != NULL){
                s_in[++top] = p;
                p = p->lchild;
            }
            if(top > -1){
                p = s_in[top--];
                printf("%d ", p->data);
                p = p->rchild;
            }
        }
    }
    printf("\n");
}

层次遍历

操作过程

若二叉树为空，则什么也不做，否则：

1. 根结点入队
2. 若队空，则结束遍历，否则重复第3步
3. 队列中第一个结点出队，并访问，若其有左孩子，则左孩子入队，若其有有孩子，则右孩子入队，返回第2步

代码实现

void LevelOrder(BiTree T){
	InitQueue(Q);
	BiTree p;
	EnQueue(Q, T);
	while(!IsEmpty(Q)){
		DeQueue(Q, p);
		visit(p);
		if(p->lchild != NULL)
			EnQueue(Q, p->lchild);
		if(p->rchild != NULL)
			EnQueue(Q, p->rchild);
	}
}