《Proof without Words》问题之一——化圆为方

《Proof without Words》问题之一——化圆为方

    《Proof without Words》一本好书。
    Page.10的一个很经典的问题：The Rolling Circle Squares Itself。意为化圆为方，即作一个正方形，令其面积等于给出的圆的面积。

    这是历史上一个著名的无法尺规解决的问题。虽然看起来似乎不大难。我第一次看这页没大看懂，给Matrix67的博主发信问了问，竟然收到了回信，可喜可贺。

    如上图，让已知的半径r的小圆滚起来，在直线上正好滚半圈，就得到了一条线段，其长度为半周长 pi*r 。在右端点上作一条垂线。在这个线段上再延长一段r，得到的线段作为半径做出一个大的半圆，与刚才的垂线形成了半个弦，弦长设为x*r。

    根据圆内相交弦的性质或者射影定理，有 pi*r * r = (x*r)^2  所以x就是根号pi了。做出了根号pi，原来的问题就解决啦。因为原来的圆面积是pi*r^2。

    另：前面说过，画圆为方是尺规不可解问题，那么上述方法就证明了“做出一条线段，长度等于已知圆的周长”也是尺规不可解问题了。