Core Idea of Dynamic Programming 动态编程核心

源自知乎“如何理解动态编程”。

答得太美，故转之以收藏。

牛岱

写代码的，偶尔写歌。

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我觉得大部分高赞答案把简单的概念搞复杂了。

quora上有这样一个问题:

How should I explain dynamic programming to a 4-year-old?

底下有个42K赞同的答案，是这样说的：

*writes down "1+1+1+1+1+1+1+1 =" on a sheet of paper*

"What's that equal to?"

*counting* "Eight!"

*writes down another "1+" on the left*

"What about that?"

*quickly* "Nine!"

"How'd you know it was nine so fast?"

"You just added one more"

"So you didn't need to recount because you remembered there were eight!Dynamic Programming is just a fancy way to say 'remembering stuff to save time later'"

就不翻译了，相信大家都能看懂。

按照定义，动态规划是把一个大问题拆解成一堆小问题，这个本身没啥问题，但是我觉得的这个不是动态规划的核心思想，或者说，一个”大问题“之所以能用”动态规划“解决，并不是因为它能拆解成一堆小问题，事实上啥大问题都能拆解成小问题...

取决于该问题是否能用动态规划解决的是这些”小问题“会不会被被重复调用。

举个例子，有n个阶梯，一个人每一步只能跨一个台阶或是两个台阶，问这个人一共有多少种走法？

首先要对这个问题进行抽象，n个阶梯，每个阶梯都代表一个”位置“， 就像是图论中的一个”点“，然后这些n个不同位置之间会有一些桥梁把它们连起来：

 

 

这个图，就是该问题的抽象表达形式，那么这个问题就转化成了从 Node 0 到 Node 10 有几种不同的路可以走？

其实这个就是问题的本质了。

那么如果我在计算出了从 5 到 10 的路径数，这个路径数是不是可以保存下来？

为什么要保存？因为这个信息一会儿还要再次被用到！

因为不管我是从3走过来的，还是从4走过来的，走到5之后，存在的路径就是第一次计算出的结果，你无需重复计算！

如果是暴力遍历的话，从 3 到 10 的时候， 你肯定会把 5 - 10 的可能路径数都算一遍，然后从 4 到 10 的时候，你又会把 5 - 10的路径算一遍，也就是重复计算了~

那么既然这样，我们创建一个数组a[]，专门来存放位点 x 到 10 的所有可能路径数，初始值记为 0，然后每当要计算 x 到 10 的路径数时，先检测一下该路径数的值是不是大于 0 ，如果大于，就说明它之前已经被计算过，并存在了a[x]中了!

那么我们马上可以得到一个递推关系:

a[x] = a[x+1] + a[x+2];

那么举个例子:

a[6] = a[7] + a[8];

a[7] = a[8] + a[9];

我们发现, 在计算 a[6] 和 a[7] 的时候, 我们都用了a[8]，也就是被重复利用了结果。

 

https://www.nowcoder.com/practice/57d85990ba5b440ab888fc72b0751bf8?tpId=13&tqId=33257&rp=1&ru=%2Fta%2Fcoding-interviews&qru=%2Fta%2Fcoding-interviews%2Fquestion-ranking&tab=answerKey

什么样的题适合用动态规划？
A：一般，动态规划有以下几种分类：

1. 最值型动态规划，比如求最大，最小值是多少
2. 计数型动态规划，比如换硬币，有多少种换法
3. 坐标型动态规划，比如在m*n矩阵求最值型，计数型，一般是二维矩阵
4. 区间型动态规划，比如在区间中求最值

其实，根据此题的启发，我们可以换种想法，就是什么样的题适合用暴力递归？
显然就是，可能的情况很多，需要枚举所有种情况。只不过动态规划，只记录子结构中最优的解。