CF Round597 Div.2

C. Constanze’s Machine

题意：有一个键盘，你敲w的时候就弹出uu，你敲m的时候就弹出nn，其他正常。现在给你一个用该键盘敲出的字符串，问你原字符串有多少种可能。

思路：首先字符串中不可能出现w和m。对于连续的u和n，用dp求出这一段可能对应的原字符串个数。然后乘起来就好了。

D. Shichikuji and Power Grid

题意：有n个城市，$n\le 200$，每个城市的坐标为$(x_i,y_i)$，你可以在一个城市花费 $c_i$ 建造供电站，也可以通过修路把两个城市连接起来共享供电站，修路的花费是 $(k_i+k_j)\ast (|x_i-x_j|+|y_i-y_j|)$，要求所有城市都能用上电的最小代价。

思路：首先，$c$ 最小的城市一定要自己建供电站。接着有两种做法：1. 建完最小代价的城市后，用修路的代价更新其他城市的代价。此时，选取最小代价城市的结论依然成立，递归地添加所有城市；2. 建图，共n+1个节点，城市标号1-n，每个城市引一条边到0号节点，边权为c；城市内部边依据修路代价，求最小生成树。因为是完全图，推荐prim。两种做法复杂度均为 $O(n^2)$。

E. Hyakugoku and Ladders

题意：有一个10*10的迷宫，你起初在左下角(0,0)位置，目标在(9,9)。在一个回合中你扔一个1-6的均匀骰子，结果为r你就前进r步，如果前进不了r步（超出迷宫边界）就呆在原地。前进规则有两条：

1. 在一行内部前进，跨行时不同行之间蛇形排列，因此(9,9)是在左上角
2. 有的位置有电梯，在前进r步之后你可以选择是否乘坐电梯，每个电梯有高度h，乘坐电梯意味着从(i,j)瞬移到(i+h,j)。乘坐电梯算在当前回合内。

问：从(0,0)到(9,9)所需回合数的期望。

思路：首先按蛇形给10*10方格里的位置标号0-99，用dp[i]表示从i号位置到达目标的期望操作数，dp[99]=0，答案就是dp[0]。假如没有电梯，我们身处i号位置，投骰子6种结果中有cnt种结果会让我们前进。那么：
$$dp[i]=1+\frac{1}{6}\cdot ({\Sigma }_{j=1}^{cnt}dp[i+j]+{\Sigma }_{j=1}^{6-cnt}dp[i])$$
整理一下：$dp[i]=\frac{1}{cnt}\cdot (6+{\Sigma }_{j=1}^{cnt}dp[i+j])$

如果有电梯的话，我们用f[i]表示i号位置乘坐电梯后的位置编号（如果该位置没有电梯，f(i)=i），将上式中的dp[i+j]都替换为min(dp[i+j], dp[f[i+j]])即可。

F. Daniel and Spring Cleaning

题意：给你两个数 $l,r,0\le l\le r\le 10^9$。问有多少对(x,y)满足$l\le x,y\le r，x+y=xxory$

分析：首先，两个数相加和异或的结果相同，等价于按位与的结果为0。根据最后一位只能是(0,0),(0,1),(1,0)，我们可以得到 $ans(2l,2r)=3\cdot ans(l,r)$。这里为了映射方便，ans(x,y)定义左闭右开的区间[x,y)上满足要求的pair数。
所以，当x,y都是偶数时，我们可以递归求解ans(x,y)。如果x,y中有奇数的话，把边界单独处理就行了。在处理奇数的时候，需要一个函数f(x,y)高效地统计[0,y)区间内和x按位与结果为0的数的个数，实现如下：

int f(int a, int b) {
  int ret = 0, zeroes = 0;
  for (int i = 1; i <= b; i <<= 1) {
    if (b & i) {
      b ^= i;
      if (!(a & b)) ret += (1 << zeroes);
    }
    if (!(a & i)) zeroes++;
  }
  return ret;
}