一 题意
给定一个整数数组a,分别求出满足下列条件的子串数量:
1)子串[l, r]中的最大值为a[r];
2)子串[l, r]中的最小值为a[l],最大值为a[r]
注意是子串不是子序列,第一问要求O(n)的时间复杂度,第二问要求O(n*lgn)
二 分析
第一小问,对于a中的每个元素a[i],我们定义prev[i]:在a[i]之前第一个比它大的数的下标,如果没有这样的数则prev[i]=-1。以a[i]为右端点和最大数的子串个数等于(i - prev[i])。求prev[i]的过程是线性的。
第二小问,维护一个数组q,q中每个元素是一个pair{value, index},两个元素分别对应a[i]和i。q存的是当前所有可以作为左端点的a中元素,q中value是非减的,index是递增的。插入一个新的pair{a[j], j}时,统计一下在当前q中index大于prev[j]的元素个数,这就是a[j]作为右端点的合法子串个数(q中元素都是合法左端点)。同时,在q中二分找到第一个value比a[j]大的元素q[k],删除q[k]和它之后的所有元素,保证q中元素作为左端点的合法性。
三 代码
#include <iostream>
typedef long long LL;
typedef std::pair<int, int> pii;
#define mp std::make_pair
#define fi first
#define se second
const int maxn = 2e5 + 4;
LL ans1, ans2;
int n, a[maxn], prev[maxn], qsz;
pii q[maxn];
void Solve1() {
prev[0] = -1, ans1 = 1LL;
for (int i = 1; i < n; i++) {
int idx = i - 1;
while (idx != -1 && a[i] >= a[idx]) {
idx = prev[idx];
}
prev[i] = idx;
ans1 += i - prev[i];
}
std::cout << ans1 << std::endl;
}
inline bool ok1(int x, int y) {
return prev[x] < q[y].se;
}
int BinarySearch1(int x) {
if (qsz == 0 || !ok1(x, qsz - 1)) return qsz;
int l = 0, r = qsz - 1;
while (l < r) {
int mid = ((l + r) >> 1);
if (ok1(x, mid)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return l;
}
inline bool ok2(int x, int y) {
return a[x] >= q[y].fi;
}
int BinarySearch2(int x) {
if (qsz == 0 || ok2(x, qsz - 1)) return qsz;
int l = 0, r = qsz - 1;
while (l < r) {
int mid = ((l + r) >> 1);
if (ok2(x, mid)) l = mid + 1;
else r = mid;
}
return l;
}
void Solve2() {
for (int i = 0; i < n; i++) {
int idx = BinarySearch1(i);
ans2 += qsz - idx + 1;
qsz = BinarySearch2(i) + 1;
q[qsz - 1] = mp(a[i], i);
}
std::cout << ans2 << std::endl;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
std::cin >> a[i];
}
Solve1();
Solve2();
return 0;
}