1049. Counting Ones (30)

最新推荐文章于 2022-10-31 18:12:26 发布

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本文提供了一种快速计算从1到任意正整数N中1的总个数的方法，并通过分析数字规律，给出具体的计算步骤及公式。

The task is simple: given any positive integer N, you are supposed to count the total number of 1's in the decimal form of the integers from 1 to N. For example, given N being 12, there are five 1's in 1, 10, 11, and 12.

Input Specification:

Each input file contains one test case which gives the positive N (<=2³⁰).

Output Specification:

For each test case, print the number of 1's in one line.

Sample Input:

Sample Output:

我们通过分析数字的规律，找出加快计算速度的方法。

0 - 9 之间所有数字中出现的 1 为 1 个

0 –99 十位的1 有 10个

去掉十位后，有10组 0~9

所以共有 10 + 10 个

0 ~ 999 之间

百位的1 有 100 = 10^2 个

去掉百位后有 10组 : 0~99

所以共有 10^2 + 10 * ( 10^1 + 10 )

0 ~ 9999 之间千位为1的共 1000= 103 个1

去掉千位后共有10组 0~999

所以有： 10^3 + 10*( 10^2 + 10 * ( 10^1 + 10*1 ) ) 个1

计算 0 ~ 9999…9
┣──╁ 共 n 个 9 中1的个数F9( n) 的计算方案
F9( 0 ) = 0
F9( 1) = 1
F9( 2) = 10 + 10 * F9(1)
F9( 3) = 10^2 + 10 * F9(2)

F9( n ) = 10^n-1 + 10 * F9( n-1)

计算 1 ~ abcdefg 的方法
令 1 ~ abcdefg 之间出现 1 的个数记为 Q( abcdefg )

设 m = len( “abcdefg”)
若 a=1 则有 F9( m-1 ) + (bcdefg+1) 个高位 1 + Q( bcdefg )

否则 a>1 ( a=0不考虑)
        则有           F9( m-1) + 10^( m-1) 个高位1 +
                       (a-1)* ( F9(m-1) ) + Q( bcdefg )
         即： a * F9(m-1) + 10^( m-1 )个高位1   +   Q( bcdefg )

注：

F9( m-1) 是从1 到 (m-1)个9 组成的数之间的Q

如 F9( 2 ) 相当于 Q（99

参考代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
	int n;
	int iCount=0;
	int iFactor=1;
	int iLowerNum=0;
	int iCurrNum=0;
	int iHigherNum=0;
	scanf("%d",&n);
	while(n/iFactor!=0)
	{
		iLowerNum = n%iFactor;
		iCurrNum = (n/iFactor)%10;
		iHigherNum = n/(iFactor *10);

		switch(iCurrNum){
		case 0:
			iCount+=iHigherNum * iFactor;
			break;
		case 1:
			iCount +=iHigherNum*iFactor + iLowerNum +1;
			break;
		default:
			iCount +=(iHigherNum+1) *iFactor;
			break;
		}
		iFactor*=10;
	}
	printf("%d",iCount);
	return 0;
}

后面在给出详细证明！