持续同调文章阅读（三）

原文：Otter, N., Porter, M.A., Tillmann, U. et al. A roadmap for the computation of persistent homology. EPJ Data Sci. 6, 17 (2017). https://doi.org/10.1140/epjds/s13688-017-0109-5.

仅摘录其中一个计算复形PH的方法。先附上例子，再说明过程：

文章提到的算法1如下：

具体的计算步骤：
第一步：构造boundary matrix $B$。 为此，我们先对复形$K$的所有单形构造一个全序，使它在以下意义上和filtration相容：
(1) a face of a simplex precedes the simplex;
(2) a simplex in the $i$th complex $K_i$ precedes simplices in $K_j$ for $j>i$, which are not in $K_i$.
在这个序下能产生单形的一个排列${\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_n$。这样定义一个$n\times n$ 的boundary matrix $B$，其第$i$行第$j$列元素$\delta (i,j)$为1，当且仅当单形${\sigma }_i$是${\sigma }_j$的一个面，且余维数为1。其余不为1的元素均为0。
第二步：定义函数$low(j)$。 对j∈{1,2,⋯ ,n}j\in\{1,2,\cdots,n\}j∈{1,2,⋯,n}，定义$low(j)$为使得$\delta (i,j)$不为0的最大指标$i$。若$\delta (i,j)$均为0，则称$low(j)$是undefined。
称boundary matrix $B$是reduced，若映射$low$是单射。我们需要通过对boundary matrix $B$用（按列的）gauss消去法把$low$变成单射（即算法1）。
第三步：确定intervals。 第二步后，若$low(j)=i$，则${\sigma }_i$与${\sigma }_j$配对，分别表示特征产生和消失的时间；若$low(j)$是undefined，则${\sigma }_j$表示特征产生的时间，若存在$k$使得$low(k)=j$，则${\sigma }_j$与${\sigma }_k$配对，且${\sigma }_k$表示特征消失的时间，若不存在$k$，表示特征持续到无穷。
对上面例子的几点解释：
第一步中，$\delta (1,6)$不等于1，因为${\sigma }_1$不是${\sigma }_6$的面；$\delta (1,7)$不等于1，因为${\sigma }_1$是0维，${\sigma }_7$是2维，余维数是2不是1。
第二步中，原始的boundary matrix $B$对应的映射$low$不是单射。例如对$j=5,6$皆有$low(j)=3$。
第三步中，gauss消去法先将第五列加到第六列，为何第一行元素变成0？注意到是在特征为2的域$F_2$考虑，所以2=0。
最后，按例子中$(d)$可以直接计算intervals。$\square$