持续同调讲解

Persistent Homology（持续同调） 是一种拓扑数据分析技术，用于从数据中提取多尺度的形状特征。它主要用于分析点云数据，识别不同尺度下的拓扑特征（如连通分支、空洞和更高维的特征）。

基本概念

1. 单纯复形（Simplicial Complex）：由顶点、边、三角形等基本单纯形组成的组合结构。
2. 滤波（Filtration）：一系列逐步嵌入的单纯复形。
3. 同调（Homology）：用于识别数据中的拓扑特征，包括连通分支、环和空洞。
4. 持续同调（Persistent Homology）：追踪拓扑特征在不同尺度下的出现和消失。

持续同调的步骤

1. 构建单纯复形：从点云数据生成单纯复形，例如Rips复形或Cech复形。
2. 生成滤波序列：根据尺度参数ϵ逐步增加单纯复形的规模。
3. 计算同调：在每个尺度下计算同调群，识别拓扑特征。
4. 追踪拓扑特征：记录拓扑特征的生成和消亡，以条形图（barcode）或持续图（persistence diagram）的形式展示。

示例代码（Python）

1. 安装所需库：

pip install ripser persim

     2.示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from ripser import ripser
from persim import plot_diagrams

# 生成示例点云数据（环形数据）
n_points = 100
angles = np.linspace(0, 2 * np.pi, n_points)
points = np.c_[np.cos(angles), np.sin(angles)]

# 计算持续同调
diagrams = ripser(points)['dgms']

# 可视化持续图
plot_diagrams(diagrams, show=True)

# 生成条形图
def plot_barcodes(diagrams):
    fig, ax = plt.subplots()
    for dim, diagram in enumerate(diagrams):
        for point in diagram:
            ax.plot([point[0], point[1]], [dim, dim], 'b')
    ax.set_xlabel("Birth")
    ax.set_ylabel("Dimension")
    plt.show()

plot_barcodes(diagrams)

解释代码

1. 生成示例点云数据：创建一个环形数据集，表示一组均匀分布在单位圆上的点。
2. 计算持续同调：使用 ripser 计算点云数据的持续同调。
3. 可视化持续图：使用 persim.plot_diagrams 函数绘制持续图，展示拓扑特征的生成和消亡。
4. 生成条形图：自定义 plot_barcodes 函数绘制条形图，显示各个拓扑特征的生存时间。

持续同调的应用

1. 形状分析：识别和分析数据的几何和拓扑结构。
2. 数据降维：通过提取拓扑特征减少数据维度。
3. 模式识别：在图像处理和计算机视觉中识别模式和特征。
4. 机器学习：用拓扑特征增强特征工程，提高模型性能。