7. 概率与统计
计数原理
加法原理、乘法原理
□ 加法原理: 分类思想□ 乘法原理: 分步思想
\begin{aligned}
& \scriptsize\square\space 加法原理: \space 分类思想
\\ & \scriptsize\square\space 乘法原理: \space 分步思想
\end{aligned}
□ 加法原理: 分类思想□ 乘法原理: 分步思想
排列数
□ 排列数Anm=n⋅(n−1)⋅⋯⋅(n−m+1)□ 排列数性质An0=1Ann=n⋅(n−1)⋅⋯⋅2⋅1=n!
\begin{aligned}
& \scriptsize\square\space 排列数
\\& \scriptsize\quad A_n^m=n \cdot (n-1) \cdot \cdots \cdot (n-m+1)
\\ & \scriptsize\square\space 排列数性质
\\& \scriptsize\quad A_n^0=1
\\& \scriptsize\quad A_n^n=n \cdot (n-1) \cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1=n!
\end{aligned}
□ 排列数Anm=n⋅(n−1)⋅⋯⋅(n−m+1)□ 排列数性质An0=1Ann=n⋅(n−1)⋅⋯⋅2⋅1=n!
组合数
□ 组合数Cnm=n⋅(n−1)⋅⋯⋅(n−m+1)m⋅(m−1)⋅⋯⋅2⋅1□ 组合数性质Cn0=1Cnn=1Cnm=Cnn−mCn+1m=Cnm−1+Cnm
\begin{aligned}
& \scriptsize\square\space 组合数
\\& \scriptsize\quad C_n^m=\frac {n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot(n-m+1)}{m\cdot(m-1)\cdot\cdots\cdot2\cdot1}
\\ & \scriptsize\square\space 组合数性质
\\& \scriptsize\quad C_n^0=1
\\& \scriptsize\quad C_n^n=1
\\& \scriptsize\quad C_n^m=C_n^{n-m}
\\& \scriptsize\quad C_{n+1}^m=C_n^{m-1}+C_n^{m}
\end{aligned}
□ 组合数Cnm=m⋅(m−1)⋅⋯⋅2⋅1n⋅(n−1)⋅⋯⋅(n−m+1)□ 组合数性质Cn0=1Cnn=1Cnm=Cnn−mCn+1m=Cnm−1+Cnm
二项式定理
□ (a+b)n=(a+b)⋅⋯⋅(a+b)⏟一个括号取一项=Cnnanb0+Cnn−1an−1b1+⋯+Cn0a0bn□ 二项式系数为Cnk; 系数为字母前面所有数□ 二项式系数和 Cn0+Cn1+⋯+Cnn=2n□ 偶次项二项式系数和 Cn0+Cn2+⋯=2n−1□ 奇次项二项式系数和 Cn1+Cn3+⋯=2n−1□ 令 x=1 求所有项系数和
\begin{aligned}
& \scriptsize\square\space (a+b)^n = \underbrace{(a+b)\cdot\cdots\cdot(a+b)}_{\scriptsize{一个括号取一项}}
\\& \scriptsize\quad =C_n^n a^n b^0 + C_n^{n-1} a^{n-1} b^1+\cdots+C_n^0 a^0 b^n
\\& \scriptsize\square\space 二项式系数为C_n^k; \space 系数为字母前面所有数
\\& \scriptsize\square\space 二项式系数和\space C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n=2^n
\\& \scriptsize\square\space 偶次项二项式系数和\space C_n^0+C_n^2+\cdots=2^{n-1}
\\& \scriptsize\square\space 奇次项二项式系数和\space C_n^1+C_n^3+\cdots=2^{n-1}
\\& \scriptsize\square\space 令\space x=1\space 求所有项系数和
\end{aligned}
□ (a+b)n=一个括号取一项(a+b)⋅⋯⋅(a+b)=Cnnanb0+Cnn−1an−1b1+⋯+Cn0a0bn□ 二项式系数为Cnk; 系数为字母前面所有数□ 二项式系数和 Cn0+Cn1+⋯+Cnn=2n□ 偶次项二项式系数和 Cn0+Cn2+⋯=2n−1□ 奇次项二项式系数和 Cn1+Cn3+⋯=2n−1□ 令 x=1 求所有项系数和
概率
频率
□ fn(A)=n(A)nn为相同条件下试验次数n(A)为事件A发生的次数，称为频数fn(A)称为频率
\begin{aligned}
& \scriptsize\square\space f_n(A)=\dfrac{n(A)}{n}
\\& \scriptsize\quad n为相同条件下试验次数
\\& \scriptsize\quad n(A)为事件A发生的次数，称为\red{频数}
\\& \scriptsize\quad f_n(A)称为\red{频率}
\end{aligned}
□ fn(A)=nn(A)n为相同条件下试验次数n(A)为事件A发生的次数，称为频数fn(A)称为频率
概率
□ P(A)=limn→∞fn(A)
\scriptsize\square\space P(A)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}f_n(A)
□ P(A)=n→∞limfn(A)
事件关系
□ 互斥事件P(A+B)=P(A)+P(B)□ 对立事件P(A+A‾)=P(A)+P(A‾)=1□ 独立事件P(AB)=P(A)P(B)□ 关系未知P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)
\begin{aligned}
& \scriptsize\square\space 互斥事件
\\& \scriptsize P(A+B)=P(A)+P(B)
\\ & \scriptsize\square\space 对立事件
\\& \scriptsize P(A+\overline{A})=P(A)+P(\overline{A})=1
\\ & \scriptsize\square\space 独立事件
\\& \scriptsize P(AB)=P(A)P(B)
\\ & \scriptsize\square\space 关系未知
\\& \scriptsize P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
\end{aligned}
□ 互斥事件P(A+B)=P(A)+P(B)□ 对立事件P(A+A)=P(A)+P(A)=1□ 独立事件P(AB)=P(A)P(B)□ 关系未知P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)
古典概型
□ P(A)=事件A包含基本事件的个数基本事件的总数
\scriptsize\square\space P(A)=\dfrac{事件A包含基本事件的个数}{基本事件的总数}
□ P(A)=基本事件的总数事件A包含基本事件的个数
条件概率
□ 条件概率P(B∣A)=P(AB)P(A)□ 乘法公式P(AB)=P(B∣A)P(A)
\begin{aligned}
& \scriptsize\square\space 条件概率
\\& \scriptsize P(B|A)=\frac {P(AB)}{P(A)}
\\ & \scriptsize\square\space 乘法公式
\\& \scriptsize P(AB)=P(B|A)P(A)
\end{aligned}
□ 条件概率P(B∣A)=P(A)P(AB)□ 乘法公式P(AB)=P(B∣A)P(A)
离散型随机变量
□ E(X)=∑i=1nxi⋅piE(aX+b)=aE(X)+b□ D(X)=∑i=1n(xi−E(X))2⋅piD(aX+b)=a2D(X)□ 超几何分布X∼H(m,M,N)P(X=m)=CMmCN−Mn−mCNn□ 二项分布X∼B(n,p)P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−kE(X)=npD(X)=np(1−p)
\begin{aligned}
\\ & \scriptsize\square\space E(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i
\\& \scriptsize\quad E(aX+b)=aE(X)+b
\\ & \scriptsize\square\space D(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-E(X))^2 \cdot p_i
\\& \scriptsize\quad D(aX+b)=a^2D(X)
\\& \scriptsize\square\space 超几何分布X \sim H(m,M,N)
\\& \scriptsize\quad P(X=m)=\frac {C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_{N}^{n}}
\\ & \scriptsize\square\space 二项分布X \sim B(n,p)
\\& \scriptsize\quad P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}
\\& \scriptsize\quad E(X)=np
\\& \scriptsize\quad D(X)=np(1-p)
\end{aligned}
□ E(X)=i=1∑nxi⋅piE(aX+b)=aE(X)+b□ D(X)=i=1∑n(xi−E(X))2⋅piD(aX+b)=a2D(X)□ 超几何分布X∼H(m,M,N)P(X=m)=CNnCMmCN−Mn−m□ 二项分布X∼B(n,p)P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−kE(X)=npD(X)=np(1−p)
连续型随机变量
□ 正态分布X∼N(μ,σ2)P(μ−σ⩽X⩽μ+σ)=0.6826P(μ−2σ⩽X⩽μ+2σ)=0.9544P(μ−3σ⩽X⩽μ+3σ)=0.9973
\begin{aligned}
& \scriptsize\square\space 正态分布X \sim N(\mu,\sigma^2)
\\& \scriptsize\quad P(\mu-\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma)=0.6826
\\& \scriptsize\quad P(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma)=0.9544
\\& \scriptsize\quad P(\mu-3\sigma \leqslant X \leqslant \mu+3\sigma)=0.9973
\end{aligned}
□ 正态分布X∼N(μ,σ2)P(μ−σ⩽X⩽μ+σ)=0.6826P(μ−2σ⩽X⩽μ+2σ)=0.9544P(μ−3σ⩽X⩽μ+3σ)=0.9973
全概公式
□ 定理 若A1, A2, ⋯, An为一个完备事件组, P(Ai)>0, i=1, 2, ⋯, n, 则对任一事件 B , 有P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai).
\begin{aligned}
& \scriptsize\square\space \red{定理} \space 若A_1, \space A_2, \space \cdots, \space A_n为一个完备事件组, \space
\\& \scriptsize\quad P(A_i)>0, \space i=1, \space 2, \space \cdots, \space n, \space 则对任一事
\\& \scriptsize\quad 件\space B \space , \space 有
\\& \scriptsize\quad P(B)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i).
\end{aligned}
□ 定理 若A1, A2, ⋯, An为一个完备事件组, P(Ai)>0, i=1, 2, ⋯, n, 则对任一事件 B , 有P(B)=i=1∑nP(Ai)P(B∣Ai).
贝叶斯公式
□ 定理 若A1, A2, ⋯, An为一个完备事件组, P(Ai)>0, i=1, 2, ⋯, n, 则对任一事件 B , P(B)>0, 则P(Ai∣B)=P(Ai)P(B∣Ai)∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai).
\begin{aligned}
& \scriptsize\square\space \red{定理} \space 若A_1, \space A_2, \space \cdots, \space A_n为一个完备事件组, \space
\\& \scriptsize\quad P(A_i)>0, \space i=1, \space 2, \space \cdots, \space n, \space 则对任一事
\\& \scriptsize\quad 件\space B \space , \space P(B)>0, \space 则
\\& \scriptsize\quad P(A_i|B)=\frac {P(A_i)P(B|A_i)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i)}.
\end{aligned}
□ 定理 若A1, A2, ⋯, An为一个完备事件组, P(Ai)>0, i=1, 2, ⋯, n, 则对任一事件 B , P(B)>0, 则P(Ai∣B)=i=1∑nP(Ai)P(B∣Ai)P(Ai)P(B∣Ai).
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