【NOIP2018复习】三个袋子（找规律/数论/除法的模公式）

三个袋子

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题目描述

背景
    平平在公园里游玩时捡到了很多小球，而且每个球都不一样。平平找遍了全身只发现了3个一模一样的袋子。他打算把这些小球都装进袋子里（袋子可以为空）。他想知道他总共有多少种放法。
 
题目描述
    将N个不同的球放到3个相同的袋子里，求放球的方案总数M。
    结果可能很大，我们仅要求输出M mod K的结果。
    现在，平平已经统计出了N<=10的所有情况。见下表：

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
M	1	2	5	14	41	122	365	1094	3281	9842

 
 

输入

两个整数N,K，N表示球的个数。

输出

输出仅包括一行，一个整数M mod K 。

输入样例复制

11 10000

输出样例复制

9525

说明

数据规模 对于 40%数据,10<=N<=10,000 对于100%数据,10<=N<=1,000,000,000 对于 100%数据，K<=100,000

题解：观察易得出 a[n]=a[n-1]*3-1;
           数学知识待定系数法得a[n]=(3^(n-1)+1)/2
           直接用费马小定理超时
           找到一条神奇公式    (a/b)%m = (a % (b*m))/b
 

var

  n,kk:int64;

  k,xx,yy,pp:longint;

function mi(x:int64):int64;

var

  pp:int64;

begin

  if x=0 then exit(1);

  if x=1 then exit(3);

  pp:=mi(x shr 1)mod k;

  if odd(x) then mi:=(pp*pp*3) mod k

  else mi:=(pp*pp)mod k;

end;

begin

  readln(n,k);

  k:=k*2;

  kk:=mi(n-1)+1;

  writeln((kk div 2));

end.