动态规划求解最长公共子串与公共子序列

最长公共子序列（longest common sequence）和最长公共子串（longest common substring）是两个不同的问题。一个给定的序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。什么是子串呢？给定串中任意个连续的字符组成的子序列称为该串的子串。

（一）最长公共子序列：求得'ABCD'与'EFGACXD'最长公共子序列，结果为3。

假设动态规划中res[i][j]的值表示list1[i]与list2[j]为同尾时，最长的公共子序列长度。如果list1[i]与list2[j]相同，则res[i][j]=res[i-1][j-1] + 1，否则max（res[i-1][j], res[i][j-1]）。

为了便于首行与首列的数据生成，则res的二维数组初始化为len1+1行，len2+1列，这样i+1,j+1位置的数据表示的是list1[i]与list2[j]对齐时候的最长公共子序列长度。

def longest_common_subsequence(list1, list2):
    len1 = len(list1)
    len2 = len(list2)
    if len1 <=0 or len2 <= 0:
        return 0
    res = [[0 for i in range(len2+1)] for i in range(len1+1)]
    for i in range(len1):
        for j in range(len2):
            if list1[i] == list2[j]:
                res[i+1][j+1] = res[i][j] + 1
            else:
                res[i+1][j+1] = max(res[i][j+1], res[i+1][j])
    return res[-1][-1]

list1 = 'ABCD'
list2 = 'EFGACXD'
print(longest_common_subsequence(list(list1), list(list2)))

（二）最长公共子串：给定两个字符串，求出它们之间最长的相同子字符串的长度。

设置一个二维矩阵，行数为len(list1)，列数为len(list2)，每个res[i][j]表示list1的i位置与list2的j位置对齐时候，这个位置之前的最长子串长度。显然，如果list1[i] != list2[j], res[i][j] = 0, 如果list1[i+1] = list2[j+1]，那么res[i+1][j+1] = res[i][j] + 1，否则res[i+1][j+1] = 0。这个二维矩阵是沿-45度方向逐步生成的。

优化思路：由于是按行推导过来的，可以只用两个list保存i行与i+1行，滚动覆盖，这样能节省一定存储空间。第0行为初始化的，当做偶数行，之后每行先判断是奇数行还是偶数行，如果是奇数行，先清空，再用偶数行的值计算；如果是偶数行，先清空，用奇数行的值计算。

def longest_common_substring(list1, list2):  
    if len(list1) == 0 or len(list2) == 0:  
        return (0, 0, 0)#返回最大长度，begin位置，end位置  
    len1 = len(list1)
    len2 = len(list2)
    longest = 0
    position = []
    res = [[0 for i in range(len2+1)] for i in range(len1+1)]
    for i in range(len1):
        for j in range(len2):
            if list1[i] == list2[j]:
                res[i+1][j+1] = res[i][j] + 1
                if res[i+1][j+1] > longest:
                    longest = res[i+1][j+1]
                    position = [(longest, i-longest+1, j-longest+1)]
                elif res[i+1][j+1] == longest:
                    position.append((longest, i-longest+1, j-longest+1))
            else:
                res[i+1][j+1] = 0
    return position

list1 = 'ABC'
list2 = 'EFG'
print('%s---%s, result:%s\n'%(list1, list2, longest_common_substring(list(list1), list(list2))))

list1 = 'ABC'
list2 = 'EFGA'
print('%s---%s, result:%s\n'%(list1, list2, longest_common_substring(list(list1), list(list2))))

list1 = 'ABCABC'
list2 = 'ABXYYAB'
print('%s---%s, result:%s\n'%(list1, list2, longest_common_substring(list(list1), list(list2))))

list1 = 'ABCDEF'
list2 = 'EFABCD'
print('%s---%s, result:%s\n'%(list1, list2, longest_common_substring(list(list1), list(list2))))

运行结果如下。