动态规划求解01背包问题，最长递增子序列

01背包问题：给定N中物品和一个背包，物品i的重量是Wi,其价值位Vi，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？每件物品可以选择装或者不装。

i代表前i个物品（包括i），j表示背包重量，f(i, j)表示从前i个物品中选取到总重量不超过j的最大价值。

如果wi > j: f(i, j) = f(i-1, j) 否则f(i, j) = max（f(i-1, j), f(i-1, j-wi) +vi）。

假设山洞里共有a,b,c,d ,e这5件宝物（不是5种宝物），它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包, 怎么装背包，可以才能带走最多的财富。

def package_max_value(weight, value, package_volume):
    if len(weight) <= 0 or len(value) <= 0 or len(weight) != len(value):
        return []
    res = [[0 for i in range(package_volume)] for i in range(len(value))]
    for j in range(package_volume):
        if j < weight[0]:
            res[0][j] = 0
        else:
            res[0][j] = value[0]

    for i in range(1, len(value)):
        for j in range(package_volume):
            if j < weight[i]:
                res[i][j] = res[i-1][j]
            else:
                res[i][j] = max(res[i-1][j], res[i-1][j-weight[i]] + value[i]) 

    return res

weight = [2,2,6,5,4]
value = [6,3,5,4,6]
package_volume = 10
print(package_max_value(weight, value, package_volume))

运行结果如下。

其中遇到二维数组赋值问题，res = [[0]* package_volume]*len(value)，其中package_volume = 10, len(value)  = 5,生成二维数组后赋值操作，譬如res[1][2] = 20，结果每行的第三个元素变为20。原来是python中[array]*num中是创建了num个指向[array]的引用，一旦[array]改变，每行都改变。

正确创建二维数组的方式是[[0 for i in range(row)] for j in range(column)]

备注：一维数组通过[0]*5创建，是确实创建了5个元素，改变其中一个不影响其他元素。这么看来，*的操作是单个元素进行申请内容，而对list元素只做引用，只能deepcopy才可以真正复制list中的list元素。

最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是指找到一个给定序列的最长子序列的长度，使得子序列中的所有元素单调递增。
例如：[3,5,7,1,2,8,4]的LIS是[3,5,7,8]，长度为 4。

def longest_ascending_sub(src):
    if len(src) <= 1:
        return src
    res = [1 for i in range(len(src))]
    subsequence = [[ele] for ele in src]
    for i in range(len(src)):
        for j in range(i):
            if src[i] >= src[j] and res[j] + 1 > res[i]:
                res[i] = res[j] + 1
                subsequence[i] = subsequence[j] + [src[i]]
    
    return res, subsequence

src = [3,5,7,1,2,8,4]
a, b = longest_ascending_sub(src)
print('---每个位置最长递增序列的长度----')
print(a)
print('---每个位置最长递增序列的元素----')
print(b)
print('---最长数据为---\n%s'%len(b[a.index(max(a))]))

运行结果如下。