baby step giant step algorithm

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本文探讨了形如az≡b mod p的模指数方程的求解方法，重点介绍了当gcd(a,p)=1和gcd(a,p)≠1时的不同解法。通过扩展欧几里得算法和迭代处理，提出了高效的求解策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

形如 $pa^z\equiv b \ mod \ p$ 　 $a ， b ， p$ 已知求 $z$ .

如果 $g c d (a, p) = 1 $

我们令 $\sqrt p +y\; (x,y<\sqrt p)$

$az≡b⇒axp+y≡b⇒axp≡b⋅(a−1)ya^z\equiv b \quad \Rightarrow a^{x\sqrt p + y}\equiv b \quad \Rightarrow a^{x\sqrt p}\equiv b\cdot (a^{-1})^y$

$gcd(a,p)=1\because \ gcd(a,p)=1$ 我们可以使用扩展欧几里得得到 $a^{-1}$ .

对于右边 $y<py<\sqrt p$ 我们预处理 $(0≤i<p)(a^{-1})^i\ (0\le i< \sqrt p)$ 将结果存放在一个表中.

我们枚举左边的 $\ (0\leq x < \sqrt p)$ 在表中查找即可.

处理 $(b⋅a−1)i,axp(b\cdot a^{-1})^i,a^{x\sqrt p}$ 我们可以递推得到，复杂度 $O(p)O(\sqrt p)$ . 注意 $q\sqrt q$ 向上取整

关键在于存储的方式以及查找的复杂度.bitset ?? .unoder_map??. hash?? .

如果 $gcd(a,p)≠1gcd(a,p)\neq 1 $

$az=a⋅az−1≡b⇒a⋅az−1+p⋅y=ba^z=a\cdot a^{z-1}\equiv b\Rightarrow a\cdot a^{z-1} + p\cdot y=b$

令 $X = a^{z-1}$

$⇒a⋅X+p⋅y=b\Rightarrow a\cdot X+p\cdot y=b$ 等式两边同时除以 $g c d (a, p)$ 如果 $b%gcd(a,p)≠1b\%gcd(a,p)\neq 1$ 无解.

(这里我们假定 $X$ 可以取遍 $[0, p - 1]$ ).

那么我们得到了一个新式子 $(a′=a/gcd(a,p),p′=p/gcd(a,p),b′=b/gcd(a,p)a'\cdot X+p'\cdot y=b' \ ( a'=a/gcd(a,p),p'=p/gcd(a,p),b'=b/gcd(a,p)$

我们 $p′a'\cdot X+p'\cdot y=b' \Rightarrow a'\cdot a \cdot a^{z-2} \equiv b' \ mod \ p'$ 令 $a'\cdot a^{z-2}$

$⇒a⋅X+p′⋅y=b′\Rightarrow a\cdot X+p'\cdot y=b'$ 继续迭代到无解或 $g c d (a, p^{'}) = 1 $

所以最后的式子可以写成 $\cdot a^{z-x} = B \ mod \ P $ , $g c d (A, P) = 1 $

$Pa^{z-x} = B\cdot A^{-1} \ mod \ P$ 利用 $g c d (a, P) = 1$ 时的情况可以解得 $z - x$ 答案加上 $x$ 即可.

这里还存在一个问题，当答案 $z < x$ 时需要特判，由于迭代次数只有几十次也就是说 $x $ 不会很大.暴力检查即可.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int MAXN = 5;
using ll = long long;
ll powmod(ll x,ll n,ll mod) {
	ll ret = 1;
	for(;n>0;n>>=1,x=x*x%mod) if(n&1) ret = ret*x%mod;
	return ret;
}
ll modI(ll a, int m) {
	return a<=1?1:(1-modI(m%a, a)*m)/a+m;
}
int BSGS(ll a,ll b,ll p) // a^x=b % p;
{
	a %= p,b %= p;
	ll a1=1,cnt=0,g;
	for(int i=0,res=1;i<100;++i) {
		if(res==b) return i;
		res = res*a%p;
	}
	while((g = __gcd(a,p))!=1){
		if(b%g) return -1;
		b/=g,p/=g;
		a1 = a1*(a/g)%p;cnt++;
	}
	b = modI(a1,p)*b%p;
	unordered_map<int,int> mp;
	int block = sqrt(p);if(block*block!=p) block++;
	ll inv = modI(a,p),res = b;
	for(int i=0;i<block;++i) {
		if(mp.count(res)==0) mp[res]=i;
		res = res*inv%p;
	}
	res = 1,inv = powmod(a,block,p);
	for(int i=0;i<block;++i) {
		if(mp.count(res)) return i*block+mp[res]+cnt;
		res = res*inv%p;
	}
	return -1;
}