33、函数解释的实例解析

函数解释的实例解析

在数学证明中，我们常常希望从证明中提取出明确的定量界限，而这往往依赖于结论的句法形式。下面我们将深入探讨相关内容，包括句法形式的意义、证明提取方法以及如何处理更复杂的句子。

句法的重要性

若一个定理能写成 $\Pi_2$ 形式 $\forall x\exists y\phi(x, y)$，我们期望存在一个可计算的界限 $G$，使得 $G(x)$ 总是紧致的，并且能证明 $\forall x\exists y \in G(x) \phi(x, y)$。而且，我们可以将原陈述的证明系统地转换为对 $G$ 的特定选择以及有界陈述的证明。

然而，如果一个定理不能写成 $\Pi_2$ 形式，情况就不同了。例如，我们可能既能证明 $\forall x\exists y\forall z\phi(x, y, z)$，又能证明 $x$ 的值不足以给出 $y$ 的可计算界限。并且，给定 $\forall x\exists y\forall z\phi(x, y, z)$ 的证明，很难确定 $y$ 是否存在可计算界限。所以，要思考哪些证明有有效界限，哪些没有，就必须认识到 $\Pi_2$ 陈述和其他陈述之间存在质的差异。

证明提取

假设我们有一个 $\Pi_2$ 陈述的证明，如杰克逊定理的证明。我们期望存在可计算界限，现在来探讨如何从原陈述的证明中提取这样的界限。

首先考虑完全形式化的证明，即由一系列公式组成，每一步都由某个形式公理或推理规则证明的证明。如果证明中的每个公式都是 $\Pi_2$ 形式，我们期望证明能直接提供一个明确的算法。因为通常任何 $\Pi_2$ 公理要么有明显的可计算界限，要么可以作为计算的输入