27、插值与高斯过程回归：原理、方法与实例

插值与高斯过程回归：原理、方法与实例

1. 三次样条插值

在数据点之间的插值中，相较于线性多项式，三次多项式是一种相对简单且有效的改进方式。三次多项式有四个系数，能够满足四个约束条件。函数需通过区间端点的观测数据，这为系数设定了两个约束，剩下的两个约束可用于表示先验信息。我们可以要求一阶和二阶导数在区间间连续，从而创建一个平滑的函数 $d(t)$，该函数在区间间无折点（其一阶导数也无折点，但二阶导数有）。

以下是三次样条插值的详细步骤：
1. 定义区间与二阶导数 ：将第 $i$ 个区间定义为时间 $t_i$ 和 $t_{i + 1}$ 之间的区间。在这个区间内，样条函数 $S_i(t)$ 是一个三次多项式。由于三次多项式的二阶导数是线性的，它可以由区间端点的值 $y_i$ 和 $y_{i + 1}$ 来确定：
[
\frac{d^2}{dt^2}S_i(t) = \frac{(t_{i + 1} - t)y_i}{h_i} + \frac{(t - t_i)y_{i + 1}}{h_i}
]
其中 $h_i = t_{i + 1} - t_i$。
2. 求解样条函数 $S_i(t)$ ：对上述二阶导数公式进行两次积分，可得：
[
S_i(t) = \frac{(t_{i + 1} - t)^3y_i}{6h_i} + \frac{(t - t_i)^3y_{i + 1}}{6h_i} + a_i(t_{i + 1} - t) + b_i(t - t_i)
]
这里 $a_i$ 和 $b_i$ 是积分常数。为使三次多项式通过数据