58、佩特里网向上封闭集最小元素的计算

佩特里网向上封闭集最小元素的计算

在佩特里网（Petri Nets）的研究中，计算向上封闭集的最小元素是一个重要的问题。本文将介绍一种统一的策略来解决这个问题，并探讨其在不同子类佩特里网中的应用。

1. 基本概念与初步计算

在多参数分析技术中，对于一个具有 $m$ 个状态、$k$ 维的向量加法系统（VASS），若其最大整数能用 $l$ 位表示，覆盖给定标记的最短见证路径长度有界，为 $O((2^l · m)^{2d·k·logk})$。将类似分析应用到构造的 VASS 和时钟区域概念上，对于 “$reg(v_0) ∩ S(θ_1, · · ·, θ_n) \neq \varnothing$”（若存在）的见证，其最大值有界，为 $d_1 · (D · (|X| · C_0)^{|X|})^{2d_2·k·logk}$，这里的 $d_1$ 和 $d_2$ 是常数，此界对应定理 2 中的 $b$ 值。

接下来，令 $v_1 = (θ_1, ω, …, ω)$，其中 $θ_1 < d_1 · (D · (|X| · C_0)^{|X|})^{2d_2·k·logk}$，设此值为 $C_1$。此时，涉及 $θ_1$ 的时钟约束不能再被忽略。我们构造一个新的 VASS 来模拟相关的时钟佩特里网，该 VASS 的状态数有界，为 $O((|X|·C_1)^{|X|})$，这意味着对于 “$reg(v_1) ∩ S(θ_1, · · ·, θ_n) \neq \varnothing$”（若存在）的见证，其最大值有界，为 $d_1·(D·(|X|·C_1)^{|X|})^{2d_2·k·logk}$，对应定理 2 中关于变量 $C_1$ 的 $f$ 函数。最终，定理 2 直接得出 $||min