57、计算Petri网向上封闭集的最小元素

计算Petri网向上封闭集的最小元素

在许多实际应用中，我们常常会遇到需要计算向上封闭集最小元素的问题。向上封闭集是指如果一个元素属于该集合，那么所有大于等于它的元素也都属于该集合。虽然我们知道每个在 $\mathbb{N}^k$ 上的向上封闭集都有有限个最小元素，但一般情况下，这些最小元素的集合可能无法有效计算。下面我们将探讨一种计算这些最小元素大小的策略，并将其应用于Petri网和参数化时钟Petri网的相关问题中。

计算最小元素大小的策略

对于向上封闭集最小元素的有效计算，有一个充分必要条件：对于每个向上封闭集 $K(\subseteq\mathbb{N}^k)$，$\min(K)$ 可有效计算当且仅当对于每个 $v \in \mathbb{N}^k_{\omega}$，问题 “$\text{reg}(v) \cap K \neq \varnothing$?” 是可判定的（其中 $\text{reg}(v) = {w \in \mathbb{N}^k | w \leq v}$）。

如果我们能够计算出 $\text{reg}(v) \cap U \neq \varnothing$（如果存在）的见证元素的大小，那么就可以为所有最小元素的大小设定一个上界。具体来说，给定一个向上封闭集 $U(\subseteq\mathbb{N}^k)$，如果对于每个 $v \in \mathbb{N}^k_{\omega}$，可以计算出 “$\text{reg}(v) \cap U \neq \varnothing$” 的见证元素 $\hat{w} \in \mathbb{N}^k$（如果存在），并且满足：
- 当 $v = (\omega, \ldots, \omega)$ 时，$|