动态规划—最长公共子序列LCS

      

  最长公共子序列问题可以描述如下：

给定两个序列X[0,····m]和Y[0,····n],找出X和Y的最大长度的公共子序列S，即最长公共子序列问题（longest common sequence ）。

分析：

         假设Z[0,····k]是X和Y的一个LCS，那么存在如下规律：

1. 如果X[m] == Y[n] == Z[k], 那么Z[0,···k-1]为 X[0···m-1]和Y[0····n-1]的一个LCS。

2.如果X[m] != Y[n], 那么Z[k] != X[m] 意味着Z[0···k]为X[0···m-1]和Y[0····n]的一个LCS。

3.如果X[m] != Y[n], 那么Z[k] != Y[n] 意味着Z[0···k]为X[0···m]和Y[0····n-1]的一个LCS。

          从以上三条就可以看出最长公共子序列具有最优子结构（即一个问题的最优解包含了子问题的最优解）。而最优子结构也是动态规划的一个基本要素。

根据上面的三条规律，可以知道如果要求得X = ( x1,x2,···,xm)和Y = ( y1,y2,···,yn)的一个LCS，那么就要考虑下面两种情况：

1.如果xm == yn,那么接下来就要求Xm-1和Yn-1的一个LCS，将Xm加上去就构成了X和Y的一个LCS。

2.如果xm  != yn，那么就要求得Xm-1和Y的一个LCS，以及Xm和Yn-1的一个LCS，二者中较长的即X和Y的一个LCS。

从这里也可以看到该问题的重叠子问题性质（不同的子问题包含共同的子子问题），这也是动态规划的第二个要素。

通过上面的分析，可以确定LCS可以通过动态规划进行求解。

由LCS的最优子结构可以得到如下递归方程：

                      0                                    如果 i = 0 或 j = 0

C[i,j] =          c[i-1,j-1]                         如果i,j>0, xi  == yj 

                      Max(c[i-1,j], c[i, j-1])    如果 i，j > 0 ，xi  != yj

根据上面的递归方程，可以写出函数来计算LCS的长度。为了求出LCS，可以维护一个辅助的二维数组action，并定义一个枚举类型enum Action {both_erase, x_erase, y_erase }。

过程如下：

void lcs( char seq1[], char seq2[], int len[][length2+1], Action action[][length2], int len1, int len2 )
{
	int i, j;
	for( i = 0; i <= length1; ++i )
		len[i][0] = 0;
	for( j = 0; j <= length2; ++j )
		len[0][j] = 0;
	for( i = 0; i < length1; ++i )
		for( j = 0; j < length2; ++j )
		{
			if( seq1[i] == seq2[j] )
			{
				len[i+1][j+1] = len[i][j] + 1;
				action[i][j] = both_erase;
			}else
			{
				len[i+1][j+1] = len[i+1][j] >= len[i][j+1] ? len[i+1][j] : len[i][j+1];
				if( len[i+1][j+1] == len[i][j+1] ).
					action[i][j] = x_erase;
				else
					action[i][j] = y_erase;
			}
		}
}

len[i][j]表示seq1[0···i-1]和seq2[0···j-1]两个序列之间的lcs的长度，action[i][j] 表示在输出seq1[0···i]和seq2[0···j]两个序列的lcs时应该采取的动作，以便后面可以根据action打印出LCS。

打印函数如下：

void print( char seq1[], Action action[][length2], int len1, int i, int j )
{
	if( i >= 0 && j >= 0 )
	{
		if( action[i][j] == both_erase )
		{
			print( seq1, action, len1, i-1, j-1 );
			cout << seq1[i];
		}
		else if( action[i][j] == x_erase )
			print( seq1, action, len1, i-1, j );
		else
			print( seq1, action, len1, i, j-1 );
	}
}

不需要辅助数组action的打印函数如下：

void print_without_ancillary_space( char seq1[], int len[][length2+1], int i , int j )
{
	if( i > 0 && j > 0 )
	{
		if( len[i][j] == len[i-1][j] )
		{
			print_without_ancillary_space( seq1, len, i-1, j );
		}else if ( len[i][j] == len[i][j-1] )
		{
			print_without_ancillary_space( seq1, len, i, j-1 );
		}else if( len[i][j] == len[i-1][j-1] + 1 )
		{
			print_without_ancillary_space( seq1, len, i-1, j-1 );
			cout << seq1[i-1];
		}
	}
}

遇到了几个问题：

1.在lcs函数中的第一个else分支中，为得到action的值，必须先判断len[i+1][j+1]和len[i][j+1]的关系.如果先判断len[i+1][j+1]和len[i+1][j]的关系，程序会出错，原因还没想清楚。

2.c++中所有字符串字面值都有编译器在末尾自动添加空字符。

如果需要程序文件， 点击这里