扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法

问题

给定两个非零整数a和b,求一组整数解(x, y),使得 ax+by=gcd(a,b)ax + by = gcd(a, b)ax+by=gcd(a,b),其中 gcd(a, b) 表示a和b的最大公约数。

解法

  1. 已证 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a, b) = gcd(b, a\%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
  2. 必存在一组解使得等式成立,那么有 ax1+by1=bx2+(a%b)∗y2=gcdax_1 + by_1 = bx_2 + (a\%b)*y_2 = gcdax1+by1=bx2+(a%b)y2=gcd
  3. a%b=a−ab∗ba\%b = a - \frac{a}{b} * ba%b=abab,代入得 ax1+by1=ay2+b∗(x2−aby2)ax_1 + by_1 = ay_2 +b*(x_2 - \frac{a}{b}y_2)ax1+by1=ay2+b(x2bay2)
  4. 比较得递推式,递归边界处 x = 1,y = 0,通过递归即可得到一组解(x, y)。
    \begin{cases}
    x_1 = y_2 \
    y_1 = x_2 - (\frac{a}{b}*y_2)
    \end{cases}
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)         // 递归边界
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;       // 返回最大公约数
    }
    int g = exGcd(b, a % b, y, x);  // 递归处理,直接在这步将x和y进行交换
    y -= a / b * x; 
    return g;           // 返回最大公约数
}

求通解

  1. 设新解为 x+s1y−s2x + s_1 y - s_2x+s1ys2,代入等式可得 as1=bs2as_1 = bs_2as1=bs2,即 s1s2=ba\frac{s_1}{s_2} = \frac{b}{a}s2s1=ab
  2. 为了使 s1s2s_1 s_2s1s2尽可能小,只要将b和a同时除以最大公约数即可,则最小取值为 s1=bgcds2=agcds_1 = \frac{b}{gcd} s_2 = \frac{a}{gcd}s1=gcdbs2=gcda
  3. 通解为:

\begin{cases}
x’ = x + \frac{b}{gcd}*K \
y’ = y - \frac{a}{gcd}*K
\end{cases}

  1. 考虑到负数,x的最小非负整数解是 (x%bgcd+bgcd)%bgcd(x\%\frac{b}{gcd} + \frac{b}{gcd}) \% \frac{b}{gcd}(x%gcdb+gcdb)%gcdb
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