扩展欧几里得算法
问题
给定两个非零整数a和b,求一组整数解(x, y),使得 ax+by=gcd(a,b)ax + by = gcd(a, b)ax+by=gcd(a,b),其中 gcd(a, b) 表示a和b的最大公约数。
解法
- 已证 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a, b) = gcd(b, a\%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b);
- 必存在一组解使得等式成立,那么有 ax1+by1=bx2+(a%b)∗y2=gcdax_1 + by_1 = bx_2 + (a\%b)*y_2 = gcdax1+by1=bx2+(a%b)∗y2=gcd;
- a%b=a−ab∗ba\%b = a - \frac{a}{b} * ba%b=a−ba∗b,代入得 ax1+by1=ay2+b∗(x2−aby2)ax_1 + by_1 = ay_2 +b*(x_2 - \frac{a}{b}y_2)ax1+by1=ay2+b∗(x2−bay2);
- 比较得递推式,递归边界处 x = 1,y = 0,通过递归即可得到一组解(x, y)。
\begin{cases}
x_1 = y_2 \
y_1 = x_2 - (\frac{a}{b}*y_2)
\end{cases}
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (b == 0) // 递归边界
{
x = 1;
y = 0;
return a; // 返回最大公约数
}
int g = exGcd(b, a % b, y, x); // 递归处理,直接在这步将x和y进行交换
y -= a / b * x;
return g; // 返回最大公约数
}
求通解
- 设新解为 x+s1y−s2x + s_1 y - s_2x+s1y−s2,代入等式可得 as1=bs2as_1 = bs_2as1=bs2,即 s1s2=ba\frac{s_1}{s_2} = \frac{b}{a}s2s1=ab;
- 为了使 s1s2s_1 s_2s1s2尽可能小,只要将b和a同时除以最大公约数即可,则最小取值为 s1=bgcds2=agcds_1 = \frac{b}{gcd} s_2 = \frac{a}{gcd}s1=gcdbs2=gcda;
- 通解为:
\begin{cases}
x’ = x + \frac{b}{gcd}*K \
y’ = y - \frac{a}{gcd}*K
\end{cases}
- 考虑到负数,x的最小非负整数解是 (x%bgcd+bgcd)%bgcd(x\%\frac{b}{gcd} + \frac{b}{gcd}) \% \frac{b}{gcd}(x%gcdb+gcdb)%gcdb。