n次多项式的任意阶导数计算(附代码)

一、思路

  霍纳方法(或秦九韶方法)是一种高效的计算$n$次多项式$P_n(u)$值的算法，其具体推导见博文：多项式求值。由于对n次多项式求d阶导数，还是多项式，因而，很自然地，n次多项式的任意阶导数计算，也可以采用霍纳方法。关键在于如何确定d阶多项式的系数？
  不失一般性，这里以3次多项式为例，观察其d阶导数的多项式系数的变化规律：
  （1）3次多项式1阶导数的多项式系数相对于0阶导数的多项式系数，需要更新最后2个。最后一个系数乘以次数3，得到$3a_3$，倒数第二个系数乘以2(即次数减1)，得到$2a_2$。
  （2）3次多项式2阶导数的多项式系数相对于1阶导数的多项式系数，需要更新最后1个。最后一个系数乘以2(即次数减1)，得到$6a_3$。
  （3）3次多项式3阶导数的多项式系数相对于2阶导数的多项式系数，不需要更新。

  更一般地，可以总结得到：
  n次多项式d阶导数的多项式系数相对于d-1阶导数的多项式系数，需要更新最后n-d个，d阶导数的第j个系数=d-1阶导数的第j个系数 *（j - d）