矩阵的偏迹

一、定义
矩阵的偏迹运算是量子力学中的一种特殊的运算，它是一种特殊的矩阵迹运算。只不过这种取迹的过程并不是对全空间展开的，而是对某一个子空间。
如果有两个希尔伯特空间分别记为$H_A$和$H_B$，它们可以分别用来表示两个量子系统A和B，那么就能对这两个空间做直积运算，从而得到系统A与B的复合系统，记为：$H_{A,B}=H_A⨂H_B$

设空间$H_{A,B}$中的密度矩阵为${\rho }_{A,B}$。再设{wi∣i=1,2,…,NB}\left\{w_{i} | i=1,2, \ldots, N_{B}\right\}{wi​∣i=1,2,…,NB​}为空间$H_B$的一组基矢，其中$N_B$为空间$H_B$的维度，那么定义${\rho }_{A,B}$对子系统B求偏迹为：
${\rho }_A={\mathrm{Tr}}_B\left({\rho }_{A,B}\right)={\sum }_{i=1}^{N_B}⟨w_i\left|{\rho }_{A,B}\right|w_i⟩$

上式是按照狄拉克记号写的。其中$⟨w_i\left|{\rho }_{A,B}\right|w_i⟩$表示$P_{A,B}$与wi做内积。但是，$P_{A,B}$是复合希尔伯特空间$H_{A,B}$中的矩阵，而$w_i$是空间$H_B$中的变量，所以这两者做内积就比较特殊。