【矩阵运算】矩阵的迹以及迹对矩阵求导总结

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原创最新推荐文章于 2026-03-30 10:57:57 发布 3.9k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

矩阵求导（三）-- 一阶微分法矩阵微分是计算标量、向量或者矩阵函数关于其向量或矩阵变元的偏导的有效数学工具。本篇主要介绍矩阵的迹、一阶实矩阵微分的有关理论、矩阵微分的运算法则及应用。熟练掌握这一节的方法，对于标量对矩阵和向量的求导可以轻松求解。阅读详情

矩阵求导最终都是华为标量求导，迹就是最简单的衡量标量一定要掌握

迹求导原因
- 总结
- 技巧

迹求导原因

矩阵求导最终都是华为标量求导，迹就是最简单的衡量标量一定要掌握

总结

$T r (A B) = T r (B A)$
$T r (A B C) = T r (B C A) = T r (C A B)$
$T r (A) = T r (A^{'})$
$d (T r (X B) ） = d (T r (B X)) = B^{'}$
X作为自变量（矩阵），若
$d (T r (X^{'} B)) = d (T r (B^{'} X) = B$
$d T r (A^{'} X B^{'}) = d T r (B X^{'} A) = d T r (X^{'} A B) = A B$
还有终极的二次X：
$d T r (A X B X^{'}) = T r (A X B d (X^{'})) + T r (X B^{'} d (X^{'}) A^{'}) = A X B + A^{'} X B^{'}$

技巧

掌握根本的定义公式足够应付形式的千变万化；
【定义】矩阵迹就是对对角线求和：
$\Sigma{a_{ii}}$
自然，转置时候，aii不动的，Tr(A) = Tr(A’)
【AB矩阵乘】AB大小分别为mxn和nxm，那么迹就是
$\Sigma{_i^m \Sigma{_j^n a_{ij}b_{ji}}}$
关键就在AB乘积，迹是遍历两个维度m,n维度的有序ab乘积，所以颠倒乘法顺序，仍然是 $\Sigma{_j^n \Sigma{_i^mb_{ji} a_{ij}}}=Tr(BA)$ 没有任何差异。
【求导】因为和 $X_{ij}$ 配对的永远是 $b_{ji}$ ,所以有
$d(Tr(AB))/d(a_{ji}) =d( \Sigma{_i^m \Sigma{_j^n a_{ij}b_{ji}}})/d(a_{ij})=b_{ji}$
所以自然Tr(AB)偏导为B’,有个转置，这是由于矩阵乘法行列相差的关联关系导致的。

所有相关的偏导都会有这个结果：
$d (T r (X^{'} B)) = d (T r (B^{'} X) = B$
$d T r (A^{'} X B^{'}) = d T r (B X^{'} A) = d T r (X^{'} A B) = A B$
还有终极的二次X：
$d T r (A X B X^{'}) = T r (A X B d (X^{'})) + T r (X B^{'} d (X^{'}) A^{'}) = A X B + A^{'} X B^{'}$