14、数据聚类算法：K-Means与EM聚类在爵士乐分类中的应用

数据聚类算法：K-Means与EM聚类在爵士乐分类中的应用

在数据处理和分析领域，聚类算法是一种强大的工具，它能够将相似的数据点分组在一起，帮助我们发现数据中的潜在结构和模式。本文将介绍两种常见的聚类算法——K-Means和EM聚类，并通过爵士乐分类的实例展示它们的应用。

1. 距离度量与K-Means聚类的局限性

在深入探讨聚类算法之前，我们先了解一下Mahalanobis距离，其公式为：
[d(x, y) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_i - y_i)^2}{s_i^2}]

K-Means聚类是一种广泛使用的聚类算法，但它存在一些局限性。K-Means要求每个数据点必须明确地属于一个聚类，不能跨越两个聚类之间的边界。此外，由于大多数情况下使用欧几里得距离，K-Means更适合处理球形数据。当数据分布较为复杂时，K-Means的局限性就会变得明显。

2. EM聚类算法

与K-Means不同，EM聚类关注的是解决另一个问题。它不是寻找一个质心并确定与之相关的数据点，而是通过概率来分配数据点到不同的聚类中。例如，在对爵士乐进行分类时，一首歌曲可能同时具有融合和摇摆的元素，EM聚类可以给出它属于每个聚类的概率。

2.1 算法原理

EM聚类是一个迭代过程，通过不断迭代来收敛到一个聚类映射。每次迭代包含两个步骤：期望（Expectation）和最大化（Maximization）。

• 期望步骤 ：更新模型的参数，估计每个数据点属于每个聚类的概率。数学上，我们根据数据的前一个值估计每个数据行的概率向量，并计算模型与数据真实值之间的条件分布中theta的对数似然。公式表示为：
  [Q(\theta \parallel \theta_t) = E_{Z \parallel X, \theta_t} [\log L(\theta; X, Z)]]
  其中，(\theta)是我们分配给行的概率模型，(Z)和(X)分别是聚类映射和原始数据点的分布。

• 最大化步骤 ：通过最大化期望函数来更新聚类的参数。具体来说，我们寻找新的(\theta)，使得对数似然最大化：
  [\theta_t = \arg \max_{\theta} Q(\theta \parallel \theta_t)]

然而，EM聚类也存在一些问题，它不一定能收敛，并且在处理具有奇异协方差的数据时可能会失败。

2.2 聚类的不可能定理

聚类算法存在一个不可能定理，即任何聚类算法都不能同时满足以下三个特性：
1. 丰富性（Richness） ：存在一个距离函数，可以产生所有不同类型的分区。这意味着聚类算法能够创建从数据点到聚类分配的所有类型的映射。
2. 尺度不变性（Scale invariance） ：如果数据的所有测量值都乘以一个常数，聚类结果应该保持不变。
3. 一致性（Consistency） ：如果缩小一个聚类内点之间的距离，然后再扩大它们，聚类结果应该保持不变。

K-Means和EM聚类满足丰富性和尺度不变性，但不满足一致性，这使得聚类算法的测试变得困难。

3. 爵士乐分类实例

为了展示K-Means和EM聚类的应用，我们以爵士乐分类为例。爵士乐是一种难以精确分类的音乐类型，它具有丰富的风格和变化。

3.1 数据收集

我们从Discogs.com获取了爵士乐专辑的元数据，包括艺术家、歌曲名称、流派等信息。为了避免版权问题，我们只使用公开的专辑信息。最终，我们下载了大约1200张独特的爵士乐专辑的元数据，并使用Discogs API对每张专辑的爵士乐风格进行了标注，发现了128种独特的爵士乐风格。

3.2 使用K-Means进行数据分析

在使用K-Means进行聚类时，我们需要确定一个合适的聚类数(K)。假设我们想将所有专辑放在一个有25个插槽的架子上，我们可以设置(K = 25)。以下是使用Python实现的代码：

import csv
from sklearn.cluster import KMeans

data = []
artists = []
years = []
with open('data/annotated_jazz_albums.csv', 'r') as csvfile:
    reader = csv.DictReader(csvfile)
    headers = reader.fieldnames[3:]
    for row in reader:
        artists.append(row['artist_album'])
        years.append(row['year'])
        data.append([int(row[key]) for key in headers])

clusters = KMeans(n_clusters=25).fit_predict(data)

with open('data/clustered_kmeans.csv', 'w') as csvfile:
    fieldnames = ['artist_album', 'year', 'cluster']
    writer = csv.DictWriter(csvfile, fieldnames=fieldnames)
    writer.writeheader()
    for i, cluster in enumerate(clusters):
        writer.writerow({'artist_album': artists[i],
                         'year': years[i],
                         'cluster': cluster})

通过分析年份与分配的聚类编号的关系，我们发现K-Means聚类结果与爵士乐的历史发展相吻合。

3.3 使用EM聚类进行数据分析

在使用EM聚类时，我们需要先初始化聚类。我们使用指示变量(z_t)来表示每个数据点属于每个聚类的概率，这些变量遵循均匀分布。

为了实现EM聚类，我们需要编写一些辅助函数。首先，我们定义一个函数来计算多元正态分布的密度：

from collections import namedtuple
import random
import logging
import math
import numpy as np
from numpy.linalg import LinAlgError

def dvmnorm(x, mean, covariance, log=False):
    """density function for the multivariate normal distribution
    based on sources of R library 'mvtnorm'
    :rtype : np.array
    :param x: vector or matrix of quantiles. If x is a matrix, each row is taken
    to be a quantile
    :param mean: mean vector, np.array
    :param covariance: covariance matrix, np.array
    :param log: if True, densities d are given as log(d), default is False
    """
    n = covariance.shape[0]
    try:
        dec = np.linalg.cholesky(covariance)
    except LinAlgError:
        dec = np.linalg.cholesky(covariance + np.eye(covariance.shape[0]) * 0.0001)
    tmp = np.linalg.solve(dec, np.transpose(x - mean))
    rss = np.sum(tmp * tmp, axis=0)
    logretval = -np.sum(np.log(np.diag(dec))) - \
                0.5 * n * np.log(2 * math.pi) - 0.5 * rss
    if log:
        return logretval
    else:
        return np.exp(logretval)

接下来，我们定义一个 EMClustering 类来实现EM聚类：

class EMClustering(object):
    logger = logging.getLogger(__name__)
    ch = logging.StreamHandler()
    formatstring = '%(asctime)s - %(name)s - %(levelname)s - %(message)s'
    formatter = logging.Formatter(formatstring)
    ch.setFormatter(formatter)
    logger.addHandler(ch)
    logger.setLevel(logging.DEBUG)
    cluster = namedtuple('cluster', 'weight, mean, covariance')

    def __init__(self, n_clusters):
        self._data = None
        self._clusters = None
        self._membership_weights = None
        self._partitions = None
        self._n_clusters = n_clusters

    @property
    def partitions(self):
        return self._partitions

    @property
    def data(self):
        return self._data

    @property
    def labels(self):
        return self._membership_weights

    @property
    def clusters(self):
        return self._clusters

    def setup(self, data):
        self._n_samples, self._n_features = data.shape
        self._data = data
        self._membership_weights = np.ones((self._n_samples, self._n_clusters)) / \
                                   self._n_clusters
        self._s = 0.2
        indices = list(range(data.shape[0]))
        random.shuffle(indices)
        pick_k_random_indices = random.sample(indices, self._n_clusters)
        self._clusters = []
        for cluster_num in range(self._n_clusters):
            mean = data[pick_k_random_indices[cluster_num], :]
            covariance = self._s * np.eye(self._n_features)
            mapping = self.cluster(1.0 / self._n_clusters, mean, covariance)
            self._clusters.append(mapping)
        self._partitions = np.empty(self._n_samples, dtype=np.int32)

    def expect(self):
        log_likelyhood = 0
        for cluster_num, cluster in enumerate(self._clusters):
            log_density = dvmnorm(self._data, cluster.mean, \
                                  cluster.covariance, log=True)
            membership_weights = cluster.weight * np.exp(log_density)
            log_likelyhood += sum(log_density * \
                                  self._membership_weights[:, cluster_num])
            self._membership_weights[:, cluster_num] = membership_weights
        for sample_num, probabilities in enumerate(self._membership_weights):
            prob_sum = sum(probabilities)
            self._partitions[sample_num] = np.argmax(probabilities)
            if prob_sum == 0:
                self._membership_weights[sample_num, :] = np.ones_like(probabilities) / \
                                                          self._n_clusters
            else:
                self._membership_weights[sample_num, :] = probabilities / prob_sum
        self.logger.debug('log likelyhood %f', log_likelyhood)

    def maximize(self):
        for cluster_num, cluster in enumerate(self._clusters):
            weights = self._membership_weights[:, cluster_num]
            weight = np.average(weights)
            mean = np.average(self._data, axis=0, weights=weights)
            covariance = np.cov(self._data, rowvar=False, ddof=0, aweights=weights)
            self._clusters[cluster_num] = self.cluster(weight, mean, covariance)

    def fit_predict(self, data, iteration=5):
        self.setup(data)
        for i in range(iteration):
            self.logger.debug('Iteration %d', i)
            self.expect()
            self.maximize()
        return self

最后，我们使用以下代码运行EM聚类：

import csv
import numpy as np
from em_clustering import EMClustering

np.set_printoptions(threshold=9000)
data = []
artists = []
years = []
with open('data/annotated_jazz_albums.csv', 'r') as csvfile:
    reader = csv.DictReader(csvfile)
    headers = reader.fieldnames[3:]
    for row in reader:
        artists.append(row['artist_album'])
        years.append(row['year'])
        data.append([int(row[key]) for key in headers])

clusterer = EMClustering(n_clusters=25)
clusters = clusterer.fit_predict(np.array(data))
print(clusters.partitions)

4. 结果分析

通过实验，我们发现EM聚类的速度较慢，因为它需要计算协方差和均值，这些操作效率较低。此外，由于我们的爵士乐数据的协方差矩阵是奇异的，直接使用EM聚类会失败。因此，我们需要将数据的维度压缩到前两个流派，以解决这个问题。

以下是将数据维度压缩的代码：

import csv
with open('data/less_covariance_jazz_albums.csv', 'w') as csvout:
    writer = csv.writer(csvout, delimiter=',')
    # Write the header of the CSV file
    writer.writerow(['artist_album', 'key_index', 'year', 'Genre_1', 'Genre_2'])
    with open('data/annotated_jazz_albums.csv', 'r') as csvin:
        reader = csv.DictReader(csvin)
        for row in reader:
            genre_count = 0
            genres = [0, 0]
            genre_idx = 0
            idx = 0
            for key, value in row.items():
                if genre_idx == 2:
                    break
                if value == '1':
                    genres[genre_idx] = idx
                    genre_idx += 1
                idx += 1
            if genres[0] > 0 or genres[1] > 0:
                line = [row['artist_album'], row['key_index'], \
                        row['year'], genres[0], genres[1]]
                writer.writerow(line)

综上所述，K-Means和EM聚类是两种不同的聚类算法，各有优缺点。在实际应用中，我们需要根据数据的特点和问题的需求选择合适的算法。通过爵士乐分类的实例，我们展示了如何使用这两种算法进行数据聚类，并对结果进行了分析。

通过这个实例，我们可以看到聚类算法在实际应用中的复杂性和挑战性。在处理复杂数据时，我们需要不断尝试和调整算法，以获得更好的聚类结果。同时，我们也需要注意算法的局限性，避免在不适合的场景中使用。希望本文能够帮助你更好地理解K-Means和EM聚类算法，并在实际应用中发挥它们的作用。

数据聚类算法：K-Means与EM聚类在爵士乐分类中的应用

5. 算法对比总结

为了更清晰地了解K-Means和EM聚类算法的特点，我们将它们的关键特性进行对比，如下表所示：
| 算法特性 | K-Means聚类 | EM聚类 |
| — | — | — |
| 数据分配方式 | 硬边界分配，每个数据点只能属于一个聚类 | 概率分配，数据点可以以一定概率属于多个聚类 |
| 适用数据类型 | 更适合球形数据 | 可以处理数据有交叉和重叠的复杂情况 |
| 计算效率 | 计算新质心和迭代速度较快 | 计算协方差和均值，效率较低，速度慢 |
| 收敛情况 | 通常能较快收敛到局部最优解 | 不一定收敛，可能在奇异协方差数据上失败 |
| 满足特性 | 丰富性、尺度不变性 | 丰富性、尺度不变性 |
| 一致性 | 不满足 | 不满足 |

从这个对比表格中，我们可以直观地看到两种算法在不同方面的优劣。在选择算法时，需要综合考虑数据的分布、计算资源以及对聚类结果的要求等因素。

6. 聚类算法的实际应用思考

聚类算法在实际应用中有着广泛的用途，但也面临着诸多挑战。以我们的爵士乐分类实例来看，虽然聚类算法可以将音乐进行分组，但结果的解释和应用还需要结合领域知识。

6.1 聚类结果的解释

聚类结果本身只是将数据点划分到不同的组中，但这些组的实际意义需要我们进一步分析。例如，在K-Means聚类结果中，我们看到爵士乐在不同时期被分到不同的聚类中，这与爵士乐的历史发展相吻合，但具体每个聚类代表的音乐风格还需要音乐专家进行解读。

6.2 数据预处理的重要性

从EM聚类在爵士乐数据上的应用可以看出，数据预处理对于聚类算法的成功至关重要。当数据的协方差矩阵奇异时，直接使用EM聚类会失败，此时我们需要对数据进行降维处理，如将数据维度压缩到前两个流派。这提示我们在实际应用中，需要对数据进行仔细的检查和预处理，以确保算法能够正常工作。

6.3 算法选择的依据

在选择K-Means还是EM聚类时，需要根据数据的特点和问题的需求来决定。如果数据分布较为规则，且希望每个数据点有明确的归属，K-Means可能是一个不错的选择；如果数据存在交叉和重叠，需要考虑数据点属于不同聚类的概率，那么EM聚类可能更合适。

7. 未来发展方向

随着数据量的不断增加和数据类型的日益复杂，聚类算法也在不断发展和改进。以下是一些可能的未来发展方向：

7.1 提高算法效率

如前所述，EM聚类算法的计算效率较低，对于大规模数据的处理能力有限。未来的研究可以致力于提高算法的计算效率，例如采用并行计算、近似算法等方法。

7.2 处理高维数据

在实际应用中，数据的维度往往很高，这给聚类算法带来了挑战。未来的算法需要能够有效地处理高维数据，避免“维度灾难”的影响。

7.3 结合其他技术

聚类算法可以与其他数据分析技术相结合，如深度学习、机器学习等，以提高聚类的准确性和效果。例如，利用深度学习模型提取数据的特征，然后再进行聚类分析。

8. 总结

本文介绍了K-Means和EM聚类两种常见的聚类算法，并通过爵士乐分类的实例展示了它们的应用。我们了解到K-Means聚类适用于数据分布较为规则的情况，而EM聚类则更适合处理数据有交叉和重叠的复杂情况。但两种算法都存在一定的局限性，如不满足一致性，在处理某些数据时可能会遇到问题。

在实际应用中，我们需要根据数据的特点和问题的需求选择合适的算法，并对数据进行预处理，以提高聚类的效果。同时，我们也应该关注聚类算法的未来发展方向，不断探索新的方法和技术，以应对日益复杂的数据挑战。

希望通过本文的介绍，读者能够对K-Means和EM聚类算法有更深入的理解，并在实际应用中能够灵活运用这些算法，解决相关的问题。

以下是一个简单的mermaid流程图，展示了聚类算法选择的基本流程：

graph TD
    A[数据输入] --> B{数据分布是否规则?}
    B -- 是 --> C(K-Means聚类)
    B -- 否 --> D{数据是否有交叉重叠?}
    D -- 是 --> E(EM聚类)
    D -- 否 --> F(考虑其他算法)
    C --> G[结果分析]
    E --> G
    F --> G

这个流程图可以帮助我们在面对不同的数据时，快速地选择合适的聚类算法。首先判断数据分布是否规则，如果是则选择K-Means聚类；如果不是，则进一步判断数据是否有交叉重叠，若是则选择EM聚类，若不是则考虑其他算法。最后对聚类结果进行分析。