11、量子力学：从规范到态与数的探索

量子力学：从规范到态与数的探索

在科学发展历程中，实验常常推动着理论的诞生。数学家们研究了众多结构，却在实验迫使下才提出量子力学，这充分说明了实验的重要性。很多时候，我们依赖实验是因为自身智慧有限。实验完成后，若有所收获，我们期望能明白为何起初实验并非必要，即世界为何只能如此。像进化论和狭义相对论，虽难以确定古希腊人能否直接得出，但他们至少能意识到这些理论有成立的可能性。

接下来，我们将在不借助实验的情况下，探讨量子力学为何可能是宇宙基本规则的一部分。若想构建具有某些通用属性的宇宙，似乎只有三个选择：（1）决定论；（2）经典概率；（3）量子力学。即便量子力学的“神秘性”无法完全消除，人们仅通过思考就能取得的进展或许会令人惊讶。而在原子光谱等实验迫使人们接受该理论之前，进展缓慢这一事实，有力地证明了实验的必要性。

负概率的思考

我们先思考一下带有负数的“概率理论”意味着什么。天气预报员不会提及明天下雨概率为 -20%，因为这听起来就毫无意义。但我们先抛开疑虑，抽象地考虑一个有 N 种可能结果的事件。可以用一个由 N 个实数组成的向量((p_1, \ldots, p_N))来表示这些事件的概率。

从数学角度看，这些概率值应为非负且总和为 1。可以说概率向量的 1 - 范数必须为 1（1 - 范数即向量各元素绝对值之和）。然而，1 - 范数并非定义向量“大小”的唯一方式，自毕达哥拉斯时代以来，2 - 范数（欧几里得范数）也是常用的一种。正式地说，欧几里得范数是向量各元素平方和的平方根。形象地说，就像你上课要迟到了，不再绕路而是直接穿过草地。

若尝试构建一个类似概率理论，但基于 2 - 范数而非 1 - 范数的理论，最终会得到量子力学。以单个比特为