9、随机与密码学：从理论到实践

随机与密码学：从理论到实践

1. BPP 与 BQP 的差异

在计算复杂度领域，BPP（有界错误概率多项式时间）和 BQP（有界错误量子多项式时间）存在显著差异。大多数人相信 P = BPP，但几乎没人认为 P = BQP。如果我们认为经典计算机分解因数是困难的，就更不会相信 P = BQP 了。而且，我们没有像去随机化程序那样成功的“去量子化”程序，这体现了量子理论和经典概率论之间的关键区别，使得某些适用于经典概率论的思想（如 Sipser–Gács–Lautemann、Adleman 和 Impagliazzo–Wigderson 的思想）在量子理论中并不适用。

Kabanets 和 Impagliazzo 等人得到了去随机化定理的某种逆定理。他们指出，如果要证明 P = BPP，就必须证明某些问题对于非均匀算法来说是困难的。这或许可以解释为什么即使假设 P = BPP，也没人能证明它，因为证明 P = BPP 需要证明某些问题的困难性，而证明这些问题困难又会间接涉及到 P 与 NP 的问题，在复杂度理论中，很多问题最终都会归结到 P 与 NP 的比较上。

2. 随机问题谜题

2.1 用有偏硬币模拟公平硬币

你和朋友想用硬币决定某事，但只有一枚有偏硬币，它正面朝上的概率为固定但未知的 p。可以使用“冯·诺依曼技巧”来模拟公平硬币：连续抛两次有偏硬币，将“正 - 反”视为正面，“反 - 正”视为反面。如果两次都是正面或都是反面，则重新抛掷。在这种方案下，每次试验中“正面”和“反面”出现的概率均为 p(1 - p)，条件是出现“正 - 反”或“反 - 正”，这样模拟出的硬币就是公平的。

2.2 红帽蓝帽投票问题