卡车运油一题的求解

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原创最新推荐文章于 2026-10-11 09:06:34 发布 1.1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

数学建模解决露天矿卡车调度问题下面来介绍一下进行数学建模解决露天矿卡车调度问题的思路以及在MATLAB中实现的源码，具体如下：为了便于问题的研究,对题目中的不确定因素做一些约定和假设： (1)电铲在一个班次内不改变铲位,也就是说每台电在一个班次内只在一个铲位上工作。这主要是因为电铲的转移不方便并且电铲的转移需要占用时间，影响公司的效益。 (2)矿石漏和铁路倒装场只是卸矿石的不同地方，它们的开采对露天矿的经... 阅读详情

这是天涯上很久以前的一个帖子，多年前求解过，但是具体过程写得不好，自己都看得都晦涩了。所以重新写一遍。

原题目：假设有一辆车，它的油箱恰好和一个油桶一样大，而且车上恰好可以运载一个油桶。假设一桶油可以让车开一百公里。现在在起点，车装满了油，另外起点还有100桶油。问，这车通过运油并途中自加油的方式，最远能离开起点多远？

首先简化一下题目，一桶油可以走一个单位长度（不用100公里，这样后面容易折算一些）
从某一个途中点A（i）运油到下一个途中点A（i+1），可作以下考虑：
1、把车辆的油箱里的油也计入，出发点A(i)有x桶油（x可以为小数），下一个加油点A(i+1)有y桶油（y也可以是小数）
2、为保证最大化运油效率，卡车从A（i+1）返回A（i）时，油箱留存的一点点油应该恰好用完，设距离为s，因此单程的油量也是s
3、总的往返次数为2m+1，其中返回次数为m，由1、2可得，x-y=（2m+1）*s。这里2m是往返m次，1是最后一次前往第i+1点。
4、前m次去，肯定要把油装满，即2桶油，去的路上用掉了s桶油，然后再装s桶油返回第i点，所以可以推论出：前m次实际运到的油量为（2-2*s）*m。（此处隐含了一个条件 s < 1）
5、最后一次前往第i+1点时，第i点剩下的油为 x-2m，然后把这剩下的油拖到第i+1点后，最后一次能运到第i+1点的油量为 x-2m-s。
6、考虑一种意外的情况，即到最后一次，由于第i点剩余的油量不足s了，就不值得回去了。这样是不是会因此而浪费一部分油呢？其实不会，如果出现这种情况，就应该缩小s，以满足最后一次的效率。当然最好的方案是，最后一次也能拉满，即也拉上 2桶油，即 x-2m = 2。
7、思考到这里，发现每次循环中 s 的设定，只有满足 x-2m = 2是效率最高的，即每个途中点的油量必须是 2的整数倍数。
8、由于起点（定义为第1点）的油量为101，不是2的整数倍数。所以在第2个点就必须设法将其凑整为2的整数倍数，最近的一个数就是100。这样，第一个关键问题，就是要用1的油耗量，让s尽可能的远。根据分析3，1=（2m+1）*s，其中m=50（因为先得把100桶油运走）。故 s=1/101。
9、继续考虑到第3点，运到第3点98个油量，总油耗为2=(2m+1)*s，其中m=48，解得s=2/97
10、继续考虑到第4点，运到第4点96个油量，总油耗为2=(2m+1)*s，其中m=47，解得s=2/95
11、继续考虑到第5点，运到第4点94个油量，总油耗为2=(2m+1)*s，其中m=46，解得s=2/93
12、以此类推， $\sum s=\frac{1}{101}+\frac{2}{97}+\frac{2}{95}+\frac{2}{93}+....+\frac{2}{5}+\frac{2}{3}+2$ ，其中最后一个 2，是最后一次用2桶油不跑往返，直接跑直线的距离。上式使用电子表格可计算得5.86524。

以上的分析8，不一定是最优方案。以前用模拟退火，算到过5.87，但是具体算法还要再检查一下，再继续发布。

13、现在回到分析6，重新考虑 x 与 m之间的关系（暂不考虑 s）。根据分析4，当 x 不是 2的整数倍数时，必有 2m + z = x，其中 z < 2。因此 $m=int(\frac{x}{2})$ ， $int$ 是取整函数。而x是是 2的整数倍数时，根据分析6，有 2m+2 = x，即 $m=\frac{x}{2}-1$ 。

现在进入模拟退火的算法思考：

1、如分析8-12，设定了包含49个运油点，下面不拘泥于运油点只有49个。假设有P个运油点，每个运油点油量为 $p_{i}$ ，从上一个点到当前运油点的抵达路程为 $s_{i}$ 。所有P个运油点的 $p_{i}$ 和 $s_{i}$ 构成了一条路径（route），现在就要求一个路径（route），使 $\sum s_{i}$ 能有最大值。
2、先“随意”预定义一条路径，然后对路径进行随机微调，依据模拟退火的判决原则，决定微调结果是否能接受，反复进行这样的随机微调，直至模拟退火到达目标
3、随机微调的方式，包括下面几种调整方式
3.1 随机选择一个运油点，微调（增或减）油量，相当于移动其距离位置
3.2 在路径中随机增加或减少一个运油点
3.3 为保证增、减的微动变量相对稳定，应设定一个最小微动变量，即最小油量变化量。上述两种变化，都必须保证在相邻的两个路径点之间满足最小油量变化量。当然这个最小油量变化量也就是本算法能达到的最小精度。毕竟不是求解析解，只是在求数值解。

# -*- coding: utf-8 -*-
from __future__ import absolute_import, print_function
import random
import math
import copy

# 最小油量变化量
global Oil_Step
Oil_minStep = 0.00003 # 这个参数决定了每次的微变量大小
#Boltzmann_constant=1.3806505*10^(-23) #kB

def One_CircleCount (x):
# 某一段的往返次数，x 为起始油量 （见 分析13）
    m = int(x/2)
    if m *1.0 == x/2 :
        # 如果 x 是2的整数倍
        m = x/2 - 1
    return m

def One_Distance (x, y):
# 某一段的运送距离，x 为起始油量， y 为运到油量 （见 分析3 ）
    m = One_CircleCount (x)
    L = (x - y) / (2*m + 1)
    return L

def Route_Distance (Route):
    Distance = 0
    for i in range(1,len(Route)):
        Distance += One_Distance(Route[i-1],Route[i])
    return Distance

def Make_Next_Route (Route):    
    Not_New_Route_Generate = True
    while Not_New_Route_Generate:
        mRand = random.randint (1,4)
        if mRand == 1 : 
        # 1 右移动某个路径点（左边方向是起点，右边是终点）
            m = random.randint(1,len(Route)-2)
            #移动谁，不能是第一点101，也不能是最后一点2
            if Route[m]-Oil_minStep > Route[m+1]:
                if One_Distance (Route[m-1],Route[m]-Oil_minStep) < 1.0:
                    Route[m] = Route[m]-Oil_minStep
                    Not_New_Route_Generate = False
        elif mRand == 2 : 
        # 2 左移动某个路径点
            m = random.randint(1,len(Route)-2)
            if Route[m]+Oil_minStep < Route[m-1]:
                if One_Distance (Route[m]+Oil_minStep, Route[m+1]) < 1.0:
                    Route[m] = Route[m]+Oil_minStep
                    Not_New_Route_Generate = False
        elif mRand == 3 :
        # 3 增加一个路径点
            m = random.randint(0,len(Route)-2) # 在第m点后增点
            if Route[m+1]-Route[m] > Oil_minStep:
                Route.insert(m+1, Route[m]+(Route[m+1]-Route[m])/2)
                Not_New_Route_Generate = False
        else:
        # 4 减去一个路径点
            m = random.randint(1,len(Route)-2)
            if One_Distance (Route[m-1], Route[m+1]) < 1.0:
                del Route[m]
                Not_New_Route_Generate = False

def MainRun ():
    random.seed()
    Route = []
    Step_Value = 101
    # 以下生成一条路径list，路径上每个点的油量差为 1
    # list中存储的是运到的油量
    # 第0点油量 101， 最后1点油量 2
    while Step_Value > 2:
        Route.append(Step_Value)
        Step_Value = Step_Value - 0.001 # 这个参数是一个奇葩，越小，初始的总距离越远
    Route.append(2)
    R_Distance = Route_Distance(Route)
    """
    for i in range(0,len(Route)):
        print (Route[i],)
    print ("")
    """    
    T = 200
    # 估计最远距离为 5-6 之间，而初始距离 3.8，那么每次的微变量 dE 瞎猜最大也就是0.2
    # 根据 exp(-dE/T) 的判决式
    # 把模拟退火起点温度 2，温度每次下降 0.001，温度下降到 0.001，完成退火
    cc = 0
    while T > 1:
        print ("\n%d \t %f \t %e" %(cc, T, 2+R_Distance) ,end="",flush=True)
        cc += 1
        T -= 0.001
        j = 20
        while j > 0:
            # 内循环用来模拟同一温度下多次的状态转移，也称为抽样稳定准则
            # （为什么称为“抽样稳定”准则，我的理解是等温过程在邻域选择下
            # 一次状态转移，一般需要在邻域内采样多次，进行多次状态转移，
            # 进而达到这一温度下的稳定状态）
            tmp_R = copy.copy(Route)
            Make_Next_Route (tmp_R)
            tmp_R_Distance = Route_Distance(tmp_R)
            delta_Distance = R_Distance - tmp_R_Distance
            if delta_Distance < 0:
                # 新目标值更优
                j -= 1
                Route = tmp_R
                R_Distance = tmp_R_Distance
                print ("|", end="", flush=True)
            elif delta_Distance == 0:
                # 新目标没有变化，本次循环无效
                pass
            else:
                # 新目标值较劣，delta_Distance >0
                # 使用 metropolis principle
                j -= 1
                k = 10000000000 # 奇葩的优化参数，根据数据变化趋势进行手动调整
                BozF = - delta_Distance*k / T
                #try:
                Boz = math.exp (BozF)
                BozRand = random.random()
                print ("*", end=" ", flush=True)
                if (BozRand < Boz) :
                    Route = tmp_R
                    R_Distance = tmp_R_Distance
                    print ("_", end=" ", flush=True)
    print ("%d \t %f \t %e" %(cc, T, R_Distance))
    for i in range(1,len(Route)):
        print ("第 %d 段: " %(i), end="")
        print ("距离: %e," % (One_Distance(Route[i-1],Route[i])), end="")
        print ("往返次数: %d," % (2*One_CircleCount(Route[i-1],Route[i])+1),end="")
        print ("搬运油量: %e" % (Route[i]))

if __name__ == '__main__':
    MainRun()


##1使用随机数发生器产生一个随机的分子构型。 
##2对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变，产生一个新的分子构型。 
##3计算新的分子构型的能量。 
##4比较新的分子构型于改变前的分子构型的能量变化，判断是否接受该构型。 
##若新的分子构型能量低于原分子构型的能量，则接受新的构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。 
##若新的分子构型能量高于原分子构型的能量，则计算玻尔兹曼因子，并产生一个随机数。 
##	若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子，
##  则放弃这个构型，重新计算。 x1 := exp(-delta_distance*k/T);
##	k = 1.3806505(24) × 10^23 J/K
##	若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子，则接受这个构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。 
##5如此进行迭代计算，直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束。 
#@ignore

代码中的几个参数需要手动调整，详见注释。简单优化一下参数，可以得到5.885451的结果。
但是似乎每次运油点的间隔越小，总距离就越大。

其中的解析解的数学推导可能会涉及到变分和泛函，一直也没有精力去进一步学习研究了。