杭电1005思考过程

杭电1005是以下这样的一道题：

问题描述
一个数字序列定义如下：

f（1）= 1，f（2）= 1，f（n）=（A * f（n-1）+ B * f（n-2））mod 7.

给定A，B和n，您将要计算f（n）的值。

输入项
输入包含多个测试用例。每个测试用例在一行上包含3个整数A，B和n（1 <= A，B <= 1000、1 <= n <= 100,000,000）。三个零表示输入结束，该测试用例将不被处理。

输出量
对于每个测试用例，将f（n）的值打印在一行上。

样本输入
1 1 3
1 2 10
0 0 0

样本输出
2
5

这道题，我这种小白踩了很多坑…
问题解答过程：
我第一眼看过去，就试着用递归解答。
于是我写了以下代码：

递归法

#include<stdio.h>
int main(){

	int dg(int a,int b,int n);
	int a,b,n,sum;

	while(scanf("%d %d %d",&a,&b,&n)!=EOF){
		if(a==0&&b==0&&n==0) break;
    sum = dg(a,b,n);
   printf("%d\n",sum);
	}
	return 0;

}

int dg(int a,int b,int n){
    if(n==1||n==2) return 1;
	else 
	return (a * dg(a,b,n - 1) + b * dg(a,b,n-2)) % 7;

}

}

提交结果当然是没能通过，报的错是Memory Limit Exceeded（空间超出限制）

于是我试着改成用递推法

#include<stdio.h>
int c[100000001];
int main(){

	int a,b,n,i;
	while(scanf("%d %d %d",&a,&b,&n)!=EOF){
		if(a==0&&b==0&&n==0) break;
         
		c[0] = 1;
		c[1] = 1;
		for(i =2 ;i<n;i++)
        c[i] = (a*c[i-1]+b*c[i-2])%7;

     printf("%d\n",c[n-1]);
	}
	return 0;

}

结果可想而知，也是Memory Limit Exceeded（空间超出限制）。我脑子真的秀逗了。递归和递推都是占用大量空间的，何况题目n可以等于100000000那么大。

于是我在一步改进算法：
用递推迭代

#include<stdio.h>
int main(){

	int a,b,n,i;
	int one,two,three;
	while(scanf("%d %d %d",&a,&b,&n)!=EOF){
		if(a==0&&b==0&&n==0) break;
         
		one = 1;
		two = 1;
		for(i =2 ;i<n;i++){
        three = (a*two+b*one)%7;
		one = two;
		two = three;
		}
     printf("%d\n",two);
	}
	return 0;

}

结果还是没能accepted，这次是时间超出限制。。。

分析：
1 <= n <= 100,000,000
就是说可能要迭代计算100000000次，超时也正常，f（n）的值也必须依赖f(n-1)和f(n-2)，这样还是无论如何都无法避免前面的计算。
那必定不是一步步递推计算得来，应该存在规律。观察发现每次的值都是0-6即{0,1 ,2,3,4,5,6}，是否会存在循环呢?如果存在循环就好办，算法时间复杂度可从O(n)变O(1)。

再分析
f（n）=（A * f（n-1）+ B * f（n-2））mod 7

因为A,B是固定的值，f（n-1）和f（n-2）决定f(n)的值，那么只有f(n-1)和f（n-2）的值重复出现一次，那么必定会循环。而f(n-1)和f（n-2）的取值都是0-6，根据组合出来的结果是7*7=49种，也就是说最坏的情况是第50次才重复一次，那最坏周期就是49.

以下是能accepted的代码：

#include<stdio.h>//规律
int main(){

    int a,b,n,i;
    int flag[50];
    while(scanf("%d %d %d",&a,&b,&n)!=EOF){
        if(a==0&&b==0&&n==0) break;
        flag[1] = 1;
        flag[2] = 1;
        for(i =3 ;i<=49;i++){
        flag[i] = (flag[i-1]*a+flag[i-2]*b)%7;
        }

     printf("%d\n",flag[n%49]);
    }
    return 0;

}

我只想到必定存在规律，没找到周期，最后是参考网上大神才知道周期是49，只能说，不容易，脑子不行。