初等数论-扩展欧几里德算法

最新推荐文章于 2025-02-21 11:03:48 发布

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分类专栏： OI 文章标签： C++ 扩展 gcd

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本文详细介绍了扩展欧几里德算法，该算法能够找到两个整数的最大公约数及其线性组合系数。通过递归方式实现了算法流程，并给出了具体的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

初等数论-扩展欧几里德

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最

大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得

gcd(a,b)=a*x+b*y;

根据欧几里德原理（辗转相除法）

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

同理

gcd(b,a mod b)=b*x1+(a-a/b*b)*y1

化简

a*x+b*y=a*y1-b*a/b*y1+b*x1

a*x+b*y=a*y1+b*(x1-a/b*y1)

所以

x=y1

y=x1-a/b*y1

代码：

<span style="font-family:Comic Sans MS;">void exgcd(int a, int b ,int &x ,int  &y)
{
	if ( !b )
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	int x1,y1;
	exgcd( b , a % b , x1 , y1 );
	x = y1;
	y = x1 - ( a / b ) * y1;
	return ;
}</span>

或者,简化

<span style="font-family:Comic Sans MS;font-size:24px;">void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(!b)
	{
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}</span>