[Leetcode] 279. Perfect Squares 解题报告

最新推荐文章于 2024-11-19 23:58:32 发布

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本文介绍两种高效算法来解决完美平方和问题：动态规划法和四平方和定理法。动态规划法通过递推公式计算最小平方和数，时间复杂度为O(n^(3/2))。四平方和定理法则利用数学特性，对于特定数值直接得出结论。

题目：

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.

For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13, return 2 because 13 = 4 + 9.

思路：

1、动态规划：设dp[i]表示i的最小平方和数，则状态转移方程为：dp[i] = min(dp[i - j * j]) + 1 (i - j * j >= 0)。该算法的时间复杂度是O(n^(3/2))，空间复杂度是O(n)。

2、四平方和定理：在网上看到一个非常神奇的四平方和定理，说每个正整数均可表示为4个整数的平方和。另外还说一个数如果有因子4，那么去掉4之后并不影响其平方和性质。如果一个数除以8余7，那么其是由4个平方和构成。利用这些性质，可以写出一个非常高效的算法。同感慨数学的力量真是屌！不过程序猿们也不要捉急，如果能bug free的写出来动态规划，相信面试官也会愿意放过的，毕竟面试官如果不是数学专业出身，也未必听过这个定理。

代码：

1、动态规划：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0, dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; ++i) {
            for(int j = 1; j <= sqrt(i); ++j) {
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

2、四平方和定理：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        while(n % 4 == 0) {
            n /= 4;
        }  
        if(n % 8 == 7) {
            return 4; 
        }
        for(int a = 0; a * a <= n; ++a) {  
            int b = sqrt(n - a * a);
            if(a * a + b * b == n) {  
                return (a != 0) + (b != 0);
            }  
        }  
        return 3;  
    }
};