2025高考数学压轴题评析——99%的汗水换不来的1%的灵感

早点关注我，精彩不错过！

MatheMagcian数学魔术师暑期夏令营0712起正式开营，火热报名中！

线下营首次落地深圳，多个主题、时段和班型可供选择！

欢迎点击《用数学魔术点亮孩子的兴趣！——2025数学魔术师夏令营报名通知》和咨询微信1035312177（备注：数学魔术课程咨询）报名！

名额有限，先到先得！

---

昨天忙着数学魔术师夏令营公开课的直播，但也没忘了一年一度的高考数学也刚刚结束。直播前就一直盯着考题，想接着挑战一把压轴题以延续传统。这不直播结束，赶紧就来解题交作业啦！

先看题！

再看解答！

做完了有几个即时的感受。一是真是年纪上来了，费了好些功夫，儿时再滚瓜烂熟的东西，如果不去维系它，常读常新，哪怕留下过深刻的痕迹，也会痛苦于记忆不起细节而懊恼，能力不练习就是自然衰减的，数学这样，魔术这样，其他所有知识能力都这样；另外，这题的风格和去年的压轴题表面上毫无关系，属于完全不同的知识背景（2024高考数学压轴题解析——数学 VS AI最后的倔强）但考察最基本的逻辑以及活学活用的能力这两个暗含的主旨思想是贯穿其中的，光刷题表层记忆没用，还得掌握真正的数学能力；还有，专家们真的是想拿这题目筛选能拿满分的天才，看谁有那1%的罕见的灵感，真是用心良苦了，反正，就给那20分钟的话，我是放弃了。

接着就我做题的感觉，给大家一个点评参考。

第一问。

函数最值问题倒是不罕见，但是纯三角函数作为函数主体的可不多，但你能说这就是偏题怪题，考察了犄角旮旯吗？还真不算是。知识点年年都能变，但知识点以下的逻辑和数学能力的考察可都是一以贯之的。

看到函数可以先用估算法大致观察一下原函数的两项，是一个压缩的cosx函数和自己的5倍之间的差，其中5倍的那个明显占主导地位，揉在一起必然是一个单调性很复杂的情况，这是在进行精细计算前需要用数感进行的快速估算，能够帮助找到解题思路以及在出问题的时候不至于完全没有校验机制。

接着，按正常的习惯思路和章法求导以后得到了一个(sin5x - sinx)的导数形式。

此时就有一定的分支路线了。我是已经快忘光了这些三角函数恒等式了，一查才发现这是经典的和差化积公式的一端，而我们拿到导数的目标就是要求正负性和零点，显然化成乘积有助于求解。

另一种则可以直接选择解这个方程。一开始我只想起数形结合发现这交点规律是有，太复杂，又分析起其中一项是另一个的压缩等等。但都不如直接记得三角函数值相等的公式，本质上是由其周期性和对称性得来。所以啊，分析半天，还不如扎实地记牢基础知识。

有了零点的通解本题就做完了，如果选择第一个分支判断零点左右的正负会容易点，而第二个则需要一点点分段的说明才算严谨，上面的解答我用的第二个方法，自认为是更直接能想到的方法。

第二问。

乍一看挺奇怪，因为无论表面还是内在，这一问除了和第一问有个相同的cos以外，没有任何关系，看起来只能猜想这两问都和第三问有关了，否则只能是未经验证的野题，怎么可能出现在高考考场呢？

你要说这题考察了什么知识点？几乎就只有一个cos函数的单调性，得熟记，剩下的基本就是逻辑语言的阅读理解题和对这个数学模型本身的理解了（这也是目前AI可能还搞不定的部分）。

各个量的性质要清楚：

theta：给定的未知量，本质上仍然是全称量词任意的意思；

a：给定的未知量，同theta，也得是暗含的任意的意思；

y：函数的自变量（有点小迷惑，自变量居然用y，而且在cos里）

命题：存在性的y，使得不等式成立。

对于复杂的命题，我们得自顶向下拆解，才能逐步理解，而且不会因为模糊而出错。

首先证明的是存在性，而a和theta都是给定的任意值，而要存在的不等式则十分简单，就是同一个函数值的大小比较，那显然就是单调区间的比拼了。把这些具体的符号去掉，总体的意思是，给了一个y的函数，要证明存在值小于等于另一个值（这里先把theta固定为数）那不就是说明函数的定义域里得存在一个更小的值吗？

再联系这个不等式的形式，theta的范围又在cos的递减区间里，那就是在说y的取值范围要能够取到等效地比theta大哪怕一丢丢的不就行了？

范围是啥，一段长度为2theta的任意窗口！这才是定义域的理解模式！这才是这个数学描述的数学模型。

于是整体的感觉就出来了，给定cos函数上的(0, pi)上递减区间上的theta值，然后要说明随意给一段长度为2theta的区间，一定能取到一个cos值更小的点上去。

把图一画，这看起来是显然的。明显最坏的情况就是a = 0，此时刚好取到y = theta，接着往哪个方向移动，都必然取到更小的cos值。

那这是根据我们人脑的几何模型认同的结论，写在试卷上还需要严谨的逻辑。这既是数学能力的考察，也是真去做科学研究必须的一步。其实很简单，a是任意的，那根据周期性先砍到2pi以内，再分类讨论，即可得到答案了。（分类讨论的数学思想，分而治之的计算机思想，深入骨髓了吗？）

至于theta，虽然也是任意，但整个推导完全是带着这个任意的值进行的，所以已经可以随便给定了。

做是做出来了，可我相信每个考生都还是毫无头绪，这玩意没看错吧，就这两个毫不相关的题，干嘛呢？

好戏来了。

问题三。

这题不知道现在优秀的孩子能否已经总结有足够成熟的解题模版来翻译这种嵌套好几层的逻辑命题。印象中当年学的时候这种逻辑层数还不多，基本可以凭借直观自然语言理解搞定它，翻译成数学式子，类似大于恒成立就要大于他的最大值等等。

但是再多嵌套几层，如果脑子里没有内置的翻译机，那就真的只能瞎猜了。

这题的逻辑嵌套有3层，而且并没有直观的数学模型背景对应，所以就靠硬规则拆解了。印象中后来只有在机器学习学到最大熵模型证明的时候遇到了类似的复杂逻辑连接词。

如果没有背过模版，那整体的思路就是和第二问一样的自顶向下。首先别管前面的，求b的最小值，就是要求不等式左边这个函数的最值，如果是存在，那就是左边的最小值，如果是任意，那就是左边的最大值。这里嵌套的顺序第二层是存在phi，所以b_min = min(t)h(t)。

接着是这个h(t)，这里x是任意，那显然里面这一层，要把x当作变量，取g(x, t)关于x的最大值，接出去变成h(t)，即为所求。

整体就是：b_min = min(t)max(x)g(x, t)

如果题目直接这么写，难度至少要下降一半。而这个翻译，考察的与其说是阅读理解，不如说是对自然语言描述的数学表达式的理解能力。而这块，是有严谨的逻辑的，不能凭感觉。

比如我一开始就凭感觉，存在phi，那就先看作phi的函数，那直接让第二项直接取最大值1减去最大的值取最小，接着再令cosx = 1取最大，最后得到答案5 - 1 = 4。乍一看好像对，但我那么做求的是：

对任意x，存在phi……而这解出来完全是两个不同的问题，本质上就是因为我是凭感觉猜的，没有真的按照数学语言的规则来翻译，所以逻辑没学透，就真的只配猜。

接下来竟然又回到基础知识的考察，以及活学活用的天才灵感测试了。按部就班一层层求，先求里面的导数，得到一大堆和kpi等相关的可能的零点。因为x的范围是R，没有端点，因此其max值只能在这些零点取到。

这时候常规的思路自然是和一般的求导得零点后的思路一样，去分析每个零点左右的正负情况。这可要了命了，两个点列的公差不同，当t取不同值时其互相的前后关系完全变化，如果不把周期性分析清楚，甚至都没法完全枚举。

要不怎么是一年一度高考的压轴最后一问呢，用常规方法解出来还了得？

这时候就得搬出它和前两问的关系了。显然，第一问就是第三问的特例，这难道不是在告诉我，也许t = 0，就是取得b_min的t值呢？

如果真是这样，倒是出现了一条思路，先假定t = 0，取得一个b_min的上界，同时证明，取其他的t的值都比这大，那就刚好说明t = 0就是最终取得b_min的结果了。

要是不给铺垫，谁知道这么猜呢？也许真的数学竞赛可以吧！

t = 0时，刚好在所有零点中发现了第一问的值是最值而且比其他的可能都大，刚好不需要去验证其他的值是不是零点了！

t != 0时，注意从目标出发，我们的目标是证明找不到更小的最大值了，因此只需要找到任何一个零点，管他是不是最大值，比当前最大值大的话，就够了！（可不一定能找到！充分不必要！）

说实话，这种级别的充分不必要式的推导，如果没有出题者的引导，谁敢想这么偏啊？而解题嘛，就是出题者与各考生之间的n方博弈，你得听得懂出题人的暗示，就像密室逃脱一样！

而在一个间距为pi / 3的序列中，任何相邻两点构成的线段包含原点的话，那么一定有其中一个点，不足pi  / 3的一半（相等时t = 0，已排除），那就是pi / 6以内，由cos的对称性和单调性，这个数一定大于刚才t = 0的情况。

即，我根据出题人的百般暗示，竟然构造出了这么一个点，它的取值在t != 0的时候一定大于t = 0的时候，由此充分地证明，t = 0时候的最值即为所求！

总结

说实话，对比去年压轴题那种更毫无头绪的构造策略，近年这题给的暗示算是够多了。但接不接得住，还真不是99%的汗水就能搞得定的。除了题目中再次渗透的基础逻辑和数学能力的考察，那最后的1%的灵感，以及短时间内的运气、策略、胆量、自信，是这些成就一场考试，一场比赛真正胜出的赢家，到底是谁。而这些品质，又何尝只是数学能力而已，这难道不是以后要成就大事的个人基本素质的考验吗？

组织一场千万人参加的考试不是容易的事情，能精准地筛选出人才更是艺术，我真心佩服这些出题的老师。不仅是严谨，还得有点艺术细胞才能设计如此精妙的关卡，让人才刚刚好溜进来，集中资源来培养。

而作为考生，我也觉得这样的考试对所有人都足够公平，给了大家凭借努力和基因改命的机会，应当倍加珍惜。

孩子们，明年见！