原来勾股定理可以这样证！

1

下面这个证明可能算不上漂亮，但它的身世很有趣，因为它并非出自数学家之手，相反，提出它的人干的是可能最世俗、离象牙塔最远的工作——他是个政客。这是第十二任美国总统加菲尔德1863年发表在一份期刊上的勾股定理的梯形证明：

直角三角形ABC与三角形BDE全等，将它们如图平放，构成一个梯形AEDC。
因为两个直角三角形是平放的，C,B,D共线，所以 ∠CBD = 180°
而 ∠β + ∠EBD = ∠β + ∠α = 90°， 可知∠ABE = 90°
梯形面积 = 三个三角形面积相加
1/2 * (a+b)^2 = 1/2 * c^2 + 1/2 *ab + 1/2 * ab
化简得 a^2 + b^2 = c^2

至于漂亮的证明，如果说简洁就是美的话，那么越简洁的证明越美，无言的证明就是最美的。下面这个证明接近于无言：

用四个阴影三角形拼成一个新正方形（右）后，新正方形面积与左边的原正方形相等， a^2 + b^2 = c^2 一目了然。

2

勾股定理的达芬奇证明：

3

欧几里德的证明：

1. 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。

2. 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

3. 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。

4. 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。

5. ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。

6. ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。

7. 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。

8. 因为 A 与 K 和 L在同一直线上，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。

9. 因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。

10. 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。

11. 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。

12. 把这两个结果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC

13. 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC

14. 由于CBDE是个正方形，因此AB² + AC² = BC²。

4

中国三国时期赵爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”，即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法

5

最简单的：

复杂一点的：

再复杂一点的：

END

我们是谁：MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！
扫描二维码关注更多精彩
魔术里的集合、映射和关系（八）——硬核之作《双人扑克感应》中的数学
我和Double Lift的故事（五）——升华篇闯红灯到底该不该罚款？——逻辑推理浅谈（二）循环、递归与魔术（五）——再谈递归的魔术逻辑与欣赏Roberto Giobbi的纸牌大学点击阅读原文，往期精彩不错过!