还记得前面的那期“面积法解题”吗？->传送门
没错，本题面积法只是一种选择，而我则在一开始使用了牛顿线的方法解决了本题。虽不是很漂亮，但还是那句话，在考场上只要能解决问题就行啦！
一、牛顿线的证明
证明： G , H , E 共线 ⇔ G I 经过 B E 中点 ⇔ S △ G E I = S △ G I B ⇔ S △ G B F + S △ G B C = S △ G E C + S △ G E F ⇔ 1 2 S △ B A F + 1 2 S △ B D C = 1 2 S △ A E C + 1 2 S △ D E F ⇔ S △ B A F + S △ B D C = S △ A E C + S △ D E F ⇔ S A B C D F E = S A B C D F E . ■ \text{证明：}G, H, E\text{共线}\Leftrightarrow GI\text{经过}BE\text{中点}\Leftrightarrow S_{\bigtriangleup GEI}=S_{\bigtriangleup GIB}\\\Leftrightarrow S_{\bigtriangleup GBF}+S_{\bigtriangleup GBC}=S_{\bigtriangleup GEC}+S_{\bigtriangleup GEF}\\\Leftrightarrow \frac{1}{2}S_{\bigtriangleup BAF}+\frac{1}{2}S_{\bigtriangleup BDC}=\frac{1}{2}S_{\bigtriangleup AEC}+\frac{1}{2}S_{\bigtriangleup DEF}\\\Leftrightarrow S_{\bigtriangleup BAF}+S_{\bigtriangleup BDC}=S_{\bigtriangleup AEC}+S_{\bigtriangleup DEF}\\\Leftrightarrow S_{ABCDFE}=S_{ABCDFE}. \blacksquare 证明：G,H,E共线⇔GI经过BE中点⇔S△GEI=S△GIB⇔S△GBF+S△GBC=S△GEC+S△GEF⇔21S△BAF+21S△BDC=21S△AEC+21S△DEF⇔S△BAF+S△BDC=S△AEC+S△DEF⇔SABCDFE=SABCDFE.■
二、本题牛顿线解法（原创）：
证明：延长 B N , C M 交于 I ，设 I P 中点为 H ， O I 中点为 G ，联结线段 . 则 ∵ O M ∥ I N , O N ∥ I M ∴ 四边形 I N O M 为平行四边形 ∴ G 也是 N M 的中点 在完全四边形 I A B O D C 中，由牛顿线定理， H F E 共线 . 在完全四边形 I N A P D M 中，由牛顿线定理， H F G 共线 . ∴ H , G , F , E 四点共线 . ∴ 直线 E F 为 △ I P O 的中位线 ∴ E F ∥ O P . ■ \text{证明：延长}BN, CM\text{交于}I\text{，设}IP\text{中点为}H\text{，}OI\text{中点为}G\text{，联结线段}.\\\text{则}\because OM\parallel IN, ON\parallel IM\\\therefore \text{四边形}INOM\text{为平行四边形}\\\therefore G\text{也是}NM\text{的中点}\\\text{在完全四边形}IABODC\text{中，由牛顿线定理，}HFE\text{共线}.\\\text{在完全四边形}INAPDM\text{中，由牛顿线定理，}HFG\text{共线}.\\\therefore H, G, F, E\text{四点共线}.\\\therefore \text{直线}EF\text{为}\bigtriangleup IPO\text{的中位线}\\\therefore EF\parallel OP. \blacksquare 证明：延长BN,CM交于I，设IP中点为H，OI中点为G，联结线段.则∵OM∥IN,ON∥IM∴四边形INOM为平行四边形∴G也是NM的中点在完全四边形IABODC中，由牛顿线定理，HFE共线.在完全四边形INAPDM中，由牛顿线定理，HFG共线.∴H,G,F,E四点共线.∴直线EF为△IPO的中位线∴EF∥OP.■
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