蓝桥杯hankson的趣味题

题目描述

描述

Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现 在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。 今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现 在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公 倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整 数x 满足： 1． x 和a0 的最大公约数是a1； 2． x 和b0 的最小公倍数是b1。 Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的 x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮 助他编程求解这个问题。

输入
输入描述:
　　输入第一行为一个正整数n，表示有n 组输入数据。

接下来的n 行每 行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入 数据保证a0 能被a1 整除，b1 能被b0 整除。
输入样例:
2
41 1 96 288
95 1 37 1776

输出

输出描述:
　　输出共n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
　　对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出0； 若存在这样的 x，请输出满足条件的x 的个数；
输出样例:
6
2

好的我来补思路了：

这道题可以暴力枚举，但估计着会超时，想了一下发现可以用素数唯一分解定理去做，如下：

任何大于1的正整数都可以被唯一分解成有限素数的乘积

1: 设 a1=x1* x2 … xn * xm;因为gcd(a0,x)=a1,所
以x=x1 * x2 … xn * xm … xi* xj=a1*…xi * xj;
且a0=x1 * x2 … xn * xm … xp* xq=a1*…xp*xq;
则x/a1与a0/a1互质，即：gcd(a0/a1,x/a1)=1;

2: lcm(b0,x)=b1,所以gcd(b0,x)=x*b0/b1。这时候把b0看作a0,x *b0/b1看作a1,由上式可得：gcd(b1/x,b1/b0)=1;

3:因为lcm(b0,x)=b1，所以x是b1的一个因子; 又gcd(a0,x)=a1,所以x是a1的倍数,所以我们只需要列举同时是b1的因子与a1的倍数的数带入由1，2中得出的式子进行判断即可。

代码（c）：

#include<stdio.h>
//辗转相除法求最大公因数
int gcd(int x, int y)
{
    return !y?x:gcd(y,x%y);
}
int main()
{
    int n,i,x,y;
    scanf("%d",&n);
    //开始对n组数据处理
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        int a0,a1,b0,b1;
        int ans=0;
        scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
        //枚举从1到sqrt(b)的数
        for(x=1; x*x<=b1; x++)
        {
            if(b1%x==0)
            {
                //运用我们分析的1，2，3判断
                if(x%a1==0&&gcd(x/a1,a0/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/x)==1)
                {
                    //如果成立那就加一
                    ans++;
                }
                //由b1=x*y可以直接得出另一个因数即y             
                y=b1/x;
                if(x==y)
                {
                    continue;
                }
                 if(y%a1==0&&gcd(y/a1,a0/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/y)==1)
                {
                    ans++;
                }
            }
        }
        //输出ans(符合条件的因子的个数即可)
        printf("%d\n",ans);
    }
       return 0;
}