【匈牙利算法】最大二分匹配——算法设计与分析

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一、问题定义

1.1 相关概念

1.1.1 二分图

给定一个无向图$G=<V,E>$，其中$V=L\cup R,L\cap R=\varphi$，且每条边$e\in E$，有一个端点在$L$中而另一个端点在$R$中，其可记为二分图$G=<L,R,E>$

1.1.2 匹配

图$G=<V,E>$中的一个匹配$M$是图$G$边集$E$的子集（$M\subseteq E$），其中每个顶点至多关联$M$的一条边。

1.2 最大二分匹配问题

输入：

\quad 二分图$G=<L,R,E>$

输出：

\quad 优化目标：$max|M|$，匹配 M = { e 1 , e 2 , . . . , e k } {M=\left \{ e_1,e_2,...,e_k \right \} } M={e1​,e2​,...,ek​}

\quad 约束条件：$\forall i,j(i\ne q),e_i=(l_i,r_i),e_j=(l_j,r_j),有l_i\ne l_j且r_i\ne r_j$ （每个顶点至多关联一条边）

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二、Hungarian匈牙利算法

2.1 交替路径

从未匹配顶点出发，依次经过“非匹配边、匹配边…非匹配边”到达另一侧未匹配顶点形成的路径。

2.2 算法

核心思想：不断寻找交替路径进行增广

Hungarian算法：

\quad ①依次检查左侧顶点：

\quad \quad 情况1：若相邻顶点未匹配，则构成交替路径，直接匹配

\quad \quad 情况2：若相邻顶点已匹配，尝试寻找交替路径，增广成新匹配

\quad ②检测完所有左侧顶点后算法结束

算法的实现：

构造辅助数组matched和color，含义如下：

算法实例：

2.3 伪代码

复杂度分析：

①初始化match数组与color数组：$O(|V|)$

②深度优先搜索寻找交替路径：$O(|V|+|E|)$

总复杂度：$O(|V||E|)$

2.4 正确性证明

思路如下：

将算法正确性证明拆分为以下两个命题即可：

命题1：匈牙利算法得到的匹配$M$无交替路径

命题2：匹配$M$无交替路径$\iff$匹配$M$是最大匹配