5、概率、生日悖论与密码学中的数学奥秘

概率、生日悖论与密码学中的数学奥秘

1. 扑克中的概率问题

在扑克游戏里，玩家有时会关心拿到特定牌型的概率。假设已知玩家的底牌和公共牌，其中目标花色的 13 张牌里已有 4 张在场上，还有 1 张非目标花色的牌，总共 5 张牌已出现。玩家有两次机会拿到目标花色的牌，分别是转牌和河牌，转牌是从 47 张牌中抽取，河牌是从 46 张牌中抽取。

计算拿到同花的概率并非简单的加法。这里存在多种情况：两张牌都是目标花色、两张都不是、只有第一张是或者只有第二张是。为了简化计算，我们可以先计算拿不到同花的概率，然后用 1 减去这个概率。此时，在 47 张牌中有 9 张不是目标花色，即有 38 张是我们期望的；接着从剩下的 46 张牌中抽取，有 9 张不是目标花色，所以有 37 张可选择。由于这两个事件是相继发生的，我们将概率相乘：
[
\frac{38}{47} \times \frac{37}{46}
]
这就是拿不到同花的概率。那么拿到同花的概率就是用 1 减去上述结果，约为 0.3497，即 34.97%。

扑克概率问题和密码分析有相似之处。在密码分析中，我们常常试图获取密钥，这就如同在扑克游戏中试图猜出对手的手牌或者找到获胜的策略。几乎所有的密码分析技术都基于概率和统计，它们在一定程度上有效，关键在于确定其有效的概率，并相应地调整算法。

2. 生日悖论

生日悖论是密码分析中的一个重要概念，它表明概率并不总是如我们最初所想。传统的生日悖论问题是：“两个人生日相同的概率有多大？”这里我们关注的是碰撞发生的概率，即两个事件结果相同。理论上，不考虑闰年等因素，正确答案是 1/365 ≈ 0.274%。因为两个人