随机系统的事件触发控制

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#事件触发 # 状态反馈 # 输出反馈 # 线性矩阵不等式

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无线传感器网络中随机系统的事件触发通信方案

摘要

随着传感器和网络技术的发展，无线传感器网络被广泛应用于各种场景中。然而，在大多数应用中，传感器节点的能量无法得到补充。此外，由于电子开关元件的寿命由触发次数决定，因此如何有效利用能量、延长网络工作寿命成为需要考虑的关键因素之一。本文讨论了一种针对随机系统的事件触发控制方案。该机制确定控制器何时发送控制数据，以平衡系统性能与驱动频率。本文通过一类二次性能指标函数推导了该控制方案。然后，基于状态反馈和输出反馈设计了性能指标的公式，推导了性能指标的上界，并且定理中的条件可以通过求解一组线性矩阵不等式来构造，这能够利用线性矩阵不等式算法方便地进行检验。最后，给出了一个数值例子来说明所得结果。

关键词 无线传感器网络、事件触发、状态反馈、输出反馈、线性矩阵不等式

收稿日期：2019年7月28日；修订日期：2019年10月9日；接受日期：2019年11月27日

引言

无线传感器网络（WSNs）是由无线传感器组成的无线网络。传感器节点可以在其网络覆盖区域内协同监测和感知多种环境信息，并将其传输至远程基站进行处理。无线传感器网络具有广泛的应用场景，可用于国防军事、工业控制、环境监测和交通管理等领域。因此，无线传感器网络已受到各国军事、工业和学术机构的广泛关注。

通常，传感器节点的电池能量在大多数应用中是有限的且难以补充（例如部署在敌后或恶劣环境中）。当传感器节点的电池电量耗尽时，该节点将失去功能。此外，传感器节点数据传输所消耗的能量通常远大于节点自身消耗的能量。由于电子开关的寿命取决于触发次数，因此有效利用能量并延长网络寿命是需要考虑的一些关键因素。

无线传感器网络的设计。因此，当前对无线传感器网络的研究主要基于事件触发控制方法，研究如何有效利用有限的能量来延长传感器网络的寿命。

在事件触发控制中，只有当特定事件发生时，系统的控制信号才会发生变化，并且仅当偏差超过系统的平衡状态时，控制信号才生效。因此，事件触发控制旨在通过给予系统较小的控制来平衡系统性能和触发条件，同时维持系统性能。动态频率可用于减少电子开关元件的传输控制和触发次数，从而有效利用能量并延长网络的工作寿命。

为了实现最优控制器性能，里曼等人提出了一种事件触发状态反馈控制器。在塔拉普拉加达和乔普拉中，提出了一种基于事件触发的输出反馈控制器，以确保系统的全局稳定性。张和韩建立了新的稳定性判据，并基于该判据提出了离散输出触发传输机制及相应的输出/反馈控制器。为了在资源约束下最小化线性二次指标，莫林和希尔切提出了最优控制律及相应的事件触发机制。超群和郭讨论了由随机事件触发的网络控制系统中最优控制器的设计。加蒂斯等人提出了一种通过事件触发传输实现最优能耗管理的新方法，该方法采用线性二次最优控制设计控制器。伦策和莱曼提出了一种新的事件触发状态反馈控制方法，该方法通过模拟两个连续事件之间的反馈生成控制输入。科吉尔提出了一种事件触发控制性能上界的计算方法，其中使用了基于马尔可夫决策过程的近似值函数。丛和周提出了一种基于当前电池能量水平和队列长度的事件触发传输方案，并考虑了两个性能指标（即传输完成时间和吞吐量）。

本文的主要贡献总结如下：我们为随机系统提出了两种事件触发控制机制，利用二次性能指标函数推导了状态反馈和输出反馈的性能指标公式，并得到了性能指标的上界。定理中的条件被相应地转换，从而可以使用LMI工具箱进行求解。

本文其余部分组织如下：下一节简要介绍事件触发控制的背景与引理。所提出的事件触发方法可在‘主要结果’部分找到。仿真结果在倒数第二部分给出。最后，给出了结论。

问题描述

考虑到离散随机线性系统，其状态空间表达式如下：

$$
x_{t+1} = A x_t + \alpha_t B u_t + w_t \
y_t = C x_t + v_t
\quad (1)
$$

其中，$x_t \in \mathbb{R}^n$ 表示状态向量。$u_t \in \mathbb{R}^m$ 为控制输入。$w_t \in \mathbb{R}^r$ 和 $v_t \in \mathbb{R}^r$ 分别为具有协方差矩阵 $Q_w$ 和 $R$ 的零均值高斯白噪声向量。$y_t \in \mathbb{R}^p$ 为传感器输出，并表示事件触发控制变量。系统从初始状态 $x_0 = 0$ 开始演化。

为了利用有限的激活次数维持系统的控制性能，每个采样点需要决定是否发送控制信号。

本文中，网络控制系统模型如图1所示。控制器接收来自传感器的状态和输出，并通过事件触发检测器决定是否将控制变量发送给系统。如果系统接收到控制信号，则应采用反馈控制；否则系统将自动运行。

本文设计了一种事件触发控制方案，该方案在平衡系统性能和触发频率的前提下，能够使系统的性能指标（即公式(1)）更小。分别针对状态反馈和输出反馈设计了事件触发控制方案，以最小化相应闭环系统性能指标的上界。

术语

$\mathbb{R}^n$：定义在实数域上的n维欧几里得空间。
$\text{trace}(X)$：矩阵X的迹。
$\mathbb{E}(v)$：随机变量v的期望。
$A > 0$：矩阵A为对称正定矩阵。
上标“T”表示矩阵的转置。

引理

引理1 。（二次性能指标）假设序列 $z_0, z_1, …$ 满足状态空间 $Z$。假设 $f: Z \to \mathbb{R}$ 和 $c: Z \to \mathbb{R}$，则

$$
J^\infty = \limsup_{T \to \infty} \frac{1}{T} \sum_{k=0}^{T-1} \mathbb{E}(c(z_k))
$$

对于所有 $z \in Z$，如果存在 $a \in \mathbb{R}$ 满足 $f(z) \leq a$，则性能指标具有以下上界

$$
J^\infty \leq \sup_{e \in Z} \left[ c(e) + \mathbb{E}(f(z_{k+1}) | z_k = e) - f(e) \right]
\quad (2)
$$

引理2 。假设 $Y > 0$ 和 $x \in \mathbb{R}^n$，且 $w \sim \mathcal{N}(0, Q)$ 为白高斯噪声列向量。令 $f(x) = (x + w)^T Y (x + w)$，则

$$
\mathbb{E}[f(x)] = x^T Y x + \text{trace}(Q Y)
\quad (3)
$$

主要结果

在本节中，针对系统函数(1)提出了状态反馈控制器和输出反馈控制器。通过求解一组线性矩阵不等式可得到反馈矩阵。

状态反馈控制器的设计

定理1 。对于给定的矩阵 $Q$ 和 $k \geq 0$，若存在矩阵 $Y > 0$ 和标量 $a \geq 0$ 满足 $k \leq a$，使得以下矩阵不等式成立，即

$$
(k - a) C^T k \cdot \text{trace}(Q) C \leq Y - A_1^T Y A_1
\quad (4)
$$

$$
Q + A^T Y A - Y \leq a C^T k \cdot \text{trace}(Q) C
\quad (5)
$$

其中 $A_1 = A + BK$。触发控制方案是

$$
\begin{cases}
\frac{y_t^T}{k \cdot \text{trace}(Q)} y_t \leq 1 + \frac{\text{trace}(k \cdot \text{trace}(Q)) R}{a} & \alpha_t = 0 \
\frac{y_t^T}{k \cdot \text{trace}(Q)} y_t > 1 + \frac{\text{trace}(k \cdot \text{trace}(Q)) R}{a} & \alpha_t = 1
\end{cases}
\quad (6)
$$

然后，系统的二次性能指标为

$$
J =
\begin{cases}
x_t^T (Q + A^T Y A - Y) x_t + \text{trace}(Q_w Y) & \alpha_t = 0 \
x_t^T (A_1^T Y A_1 - Y) x_t + k + \text{trace}(Q_w Y) & \alpha_t = 1
\end{cases}
\quad (7)
$$

性能指标的上界为

$$
J^\infty \leq a + \text{trace}(Q_w Y)
\quad (8)
$$

证明。给定状态反馈公式 $u_t = K x_t$，系统函数(1) 可重写为

$$
x_{t+1} =
\begin{cases}
A x_t + w_t & \alpha_t = 0 \
(A + BK) x_t + w_t & \alpha_t = 1
\end{cases}
\quad (9)
$$

设 $f(x) = x^T Y x$ 表示状态的二次性能指标函数，则

$$
f(x_{t+1}) =
\begin{cases}
(A x_t + w_t)^T Y (A x_t + w_t) & \alpha_t = 0 \
(A_1 x_t + w_t)^T Y (A_1 x_t + w_t) & \alpha_t = 1
\end{cases}
\quad (10)
$$

其中 $A_1 = A + BK$。根据引理2，期望为

$$
\mathbb{E}[f(x_{t+1})] =
\begin{cases}
x_t^T A^T Y A x_t + \text{trace}(Q_w Y) & \alpha_t = 0 \
x_t^T A_1^T Y A_1 x_t + \text{trace}(Q_w Y) & \alpha_t = 1
\end{cases}
\quad (11)
$$

假设

$$
c(x) = (1 - \alpha_t) x_t^T Q x_t + k \alpha_t
\quad (12)
$$

那么公式(2)的右边部分可以重写为

结合方程(1)和(12)与方程(13)，公式(7)得证。

根据方程(6)，并假设 $\alpha_t = 1$，事件触发控制方案如下

$$
\frac{y_t^T}{k \cdot \text{trace}(Q)} y_t > 1 + \frac{\text{trace}(k \cdot \text{trace}(Q)) R}{a}
\quad (14)
$$

公式(14)的期望是

$$
\mathbb{E}\left[\frac{y_t^T}{k \cdot \text{trace}(Q)} y_t\right] > \mathbb{E}\left[1 + \frac{\text{trace}(k \cdot \text{trace}(Q)) R}{a}\right]
\quad (15)
$$

结合 $y_t = C x_t + v_t$ 与方程(15)，得到 $\mathbb{E}[(C x_t + v_t)^T k \cdot \text{trace}(Q) (C x_t + v_t)] > \mathbb{E}[1 + \text{trace}(k \cdot \text{trace}(Q)) R]$。利用引理2中求随机变量的多项式期望的方法，上述公式可以简化为 $x_t^T C^T k \cdot \text{trace}(Q) C x_t + \text{trace}(k \cdot \text{trace}(Q) R) > 1 + \text{trace}(k \cdot \text{trace}(Q)) R$，即

$$
x_t^T C^T k \cdot \text{trace}(Q) C x_t > 1
\quad (16)
$$

将 $x_t^T$ 及其转置乘以方程(4)，得到

$$
(k - a) x_t^T C^T k \cdot \text{trace}(Q) C x_t \leq x_t^T (Y - A_1^T Y A_1) x_t
\quad (17)
$$

根据方程(16)和(17)，得到

$$
k - a \leq x_t^T (Y - A_1^T Y A_1) x_t
\quad (18)
$$

根据方程(7)，当 $\alpha_t = 1$ 时，公式变为

$$
J = x_t^T (A_1^T Y A_1 - Y) x_t + k + \text{trace}(Q_w Y) \leq a - k + k + \text{trace}(Q_w Y) = a + \text{trace}(Q_w Y)
\quad (19)
$$

当 $\alpha_t = 0$ 时，类似于方程(15)的推导过程，得到

$$
x_t^T C^T k \cdot \text{trace}(Q) C x_t \leq 1
\quad (20)
$$

将 $x_t^T$ 及其转置乘以方程(5)，得到

$$
x_t^T (Q + A^T Y A - Y) x_t \leq a x_t^T C^T k \cdot \text{trace}(Q) C x_t
\quad (21)
$$

根据方程(20)和(21)，不等式为

$$
x_t^T (Q + A^T Y A - Y) x_t \leq a
\quad (22)
$$

当 $\alpha_t = 0$ 时，公式(7)变为

$$
J = x_t^T (Q + A^T Y A - Y) x_t + \text{trace}(Q_w Y) \leq a + \text{trace}(Q_w Y)
\quad (23)
$$

根据方程(19)和(23)，公式变为

$$
J^\infty \leq J \leq a + \text{trace}(Q_w Y)
\quad (24)
$$

根据方程(7)，当 $\alpha_t = 1$ 时，性能指标和 $K$ 不相关。为了使性能指标更小，令

$$
A_1 = A + BK = 0
\quad (25)
$$

求解公式(25)，我们得到

$$
K = -(B^T Y B)^{-1} B^T Y A
\quad (26)
$$

因此

$$
A_1 = A + BK = A + B [-(B^T Y B)^{-1} B^T Y A] = A - B B^{-1} Y^{-1} (B^T)^{-1} B^T Y A = 0
$$

根据方程(4)，定理1是非线性的，因为它包含了矩阵变量 $K$ 和 $Y$ 的乘积项。因此，无法使用LMI工具箱。然而，通过使用方程(26)，定理1可以转化为关于变量 $Y$ 和 $a$ 的线性矩阵不等式。

推论1 。给定矩阵 $Q$ 和 $k \geq 0$，并使用求解以下线性矩阵不等式优化的方法

$$
\min \left[ a + \text{trace}(Q_w Y) \right] \
\text{s.t.} \
Y > 0, \quad a \geq 0, \quad a - k < 0 \
(k - a) C^T k \cdot \text{trace}(Q) C - Y < 0 \
Q + A^T Y A - Y - a C^T k \cdot \text{trace}(Q) C \leq 0
\quad (27)
$$

当 $K = -(B^T Y B)^{-1} B^T Y A$ 时，定理1的性能指标可以达到最小。

注释1 。在定理1中，$Q$ 是误差权重，$k$ 是通信权重，它们根据实际环境给出。

输出反馈控制器设计

定理2 。给定矩阵 $Q$ 和 $k \geq 0$，如果存在矩阵 $Y > 0$，标量 $a \geq 0$ 和 $k^\ast = k + \text{trace}(K^T B^T Y B K R)$ 使得以下线性矩阵不等式成立，即

$$
k^\ast - a \geq 0
\quad (28)
$$

$$
(k^\ast - a) C^T k \cdot \text{trace}(Q) C \leq Y - A_1^T Y A_1
\quad (29)
$$

$$
Q + A^T Y A - Y \leq a C^T k \cdot \text{trace}(Q) C
\quad (30)
$$

其中 $A_1 = A + B K C$。触发控制方案为

然后，系统的二次性能指标是

$$
J =
\begin{cases}
x_t^T (Q + A^T Y A - Y) x_t + \text{trace}(Q_w Y) & \alpha_t = 0 \
x_t^T (A_1^T Y A_1 - Y) x_t + k^\ast + \text{trace}(Q_w Y) & \alpha_t = 1
\end{cases}
\quad (32)
$$

性能指标的上界为

$$
f(x) \leq a + \text{trace}(Q_w Y)
\quad (33)
$$

证明。给定输出反馈公式 $u_t = K y_t$，系统函数(1) 可重写为

$$
x_{t+1} = A x_t + \alpha_t B K y_t + w_t = A x_t + \alpha_t B K (C x_t + v_t) + w_t = (A + \alpha_t B K C) x_t + \alpha_t B K v_t + w_t
\quad (34)
$$

使用事件触发方法，$x_{t+1}$ 可以表示为

$$
x_{t+1} =
\begin{cases}
A x_t + w_t & \alpha_t = 0 \
A_1 x_t + B K v_t + w_t & \alpha_t = 1
\end{cases}
\quad (35)
$$

令 $f(x) = x^T Y x$ 表示状态的二次性能指标函数，则

$$
f(x_{t+1}) =
\begin{cases}
(A x_t + w_t)^T Y (A x_t + w_t) & \alpha_t = 0 \
(A_1 x_t + B K v_t + w_t)^T Y (A_1 x_t + B K v_t + w_t) & \alpha_t = 1
\end{cases}
\quad (36)
$$

其中 $A_1 = A + B K C$，根据引理2，期望为

$$
\mathbb{E}[f(x_{t+1})] =
\begin{cases}
x_t^T A^T Y A x_t + \text{trace}(Q_w Y) & \alpha_t = 0 \
x_t^T A_1^T Y A_1 x_t + \text{trace}(Q_w Y) + \text{trace}(M) & \alpha_t = 1
\end{cases}
\quad (37)
$$

其中 $M = K^T B^T Y B K R$。

假设

$$
c(x) = (1 - \alpha_t) x_t^T Q x_t + k \alpha_t
\quad (38)
$$

然后可以通过定理1的证明过程得到公式(32)。

根据方程(31)，并假设 $\alpha_t = 1$，事件触发控制方案如下

$$
\frac{y_t^T}{k \cdot \text{trace}(Q)} y_t > 1 + \frac{\text{trace}(k \cdot \text{trace}(Q)) R}{a}
\quad (39)
$$

公式(39)的期望是

$$
\mathbb{E}\left[\frac{y_t^T}{k \cdot \text{trace}(Q)} y_t\right] > \mathbb{E}\left[1 + \frac{\text{trace}(k \cdot \text{trace}(Q)) R}{a}\right]
\quad (40)
$$

结合 $y_t = C x_t + v_t$ 与方程(40)，我们得到
$\mathbb{E}[(C x_t + v_t)^T k \cdot \text{trace}(Q) (C x_t + v_t)] > \mathbb{E}[1 + \text{trace}(k \cdot \text{trace}(Q)) R]$。
使用引理2中求随机变量的多项式期望的方法，上述公式可简化为
$x_t^T C^T k \cdot \text{trace}(Q) C x_t + \text{trace}(k \cdot \text{trace}(Q) R) > 1 + \text{trace}(k \cdot \text{trace}(Q)) R$，即

$$
x_t^T C^T k \cdot \text{trace}(Q) C x_t > 1
\quad (41)
$$

将 $x_t^T$ 及其转置乘以方程(29)，我们得到

$$
(k^\ast - a) x_t^T C^T k \cdot \text{trace}(Q) C x_t \leq x_t^T (Y - A_1^T Y A_1) x_t
\quad (42)
$$

根据方程(41)和(42)，该不等式为

$$
k^\ast - a \leq x_t^T (Y - A_1^T Y A_1) x_t
\quad (43)
$$

当 $\alpha_t = 1$ 时，公式(32)变为

$$
J = x_t^T (A_1^T Y A_1 - Y) x_t + k^\ast + \text{trace}(Q_w Y) \leq a - k^\ast + k^\ast + \text{trace}(Q_w Y) = a + \text{trace}(Q_w Y)
\quad (44)
$$

当 $\alpha_t = 0$ 时，类似于方程(41)的推导过程，我们得到

$$
x_t^T C^T k \cdot \text{trace}(Q) C x_t \leq 1
\quad (45)
$$

将 $x_t^T$ 及其转置乘以方程(30)，我们得到

$$
x_t^T (Q + A^T Y A - Y) x_t \leq a x_t^T C^T k \cdot \text{trace}(Q) C x_t
\quad (46)
$$

根据方程(45)和(46)，该不等式为

$$
x_t^T (Q + A^T Y A - Y) x_t \leq a
\quad (47)
$$

当 $\alpha_t = 0$ 时，公式(32)变为

$$
J = x_t^T (Q + A^T Y A - Y) x_t + \text{trace}(Q_w Y) \leq a + \text{trace}(Q_w Y)
\quad (48)
$$

结合方程(44)和(48)与方程(2)，可得

$$
J^\infty \leq J \leq a + \text{trace}(Q_w Y)
\quad (49)
$$

定理2得证。

类似于定理1，为了使性能指标更小，令

$$
A_1 = A + B K C = 0
\quad (50)
$$

求解公式(50)，我们得到

$$
K = -(B^T Y B)^{-1} B^T Y A C^T (C C^T)^{-1}
\quad (51)
$$

因此

$$
A_1 = A + B K C = A + B [-(B^T Y B)^{-1} B^T Y A C^T (C C^T)^{-1}] C = A - B B^{-1} Y^{-1} (B^T)^{-1} B^T Y A (C^T)^{-1} C^{-1} C = 0
$$

由于定理2中的 $k^\ast$ 包含 $K$ 和 $Y$，因此无法像状态反馈那样简单地转化为线性矩阵不等式。然而，可以假设 $k^\ast$ 是一个给定的值；从而将其转化为类似于状态反馈的线性矩阵不等式优化问题，即首先计算 $K$ 和 $Y$ 的值，然后验证 $k^\ast$ 是否满足条件（如果不满足，则调整 $k^\ast$ 直到满足条件为止）。

注释2 。与定理1不同，定理2中的控制器和事件驱动机制是基于输出的，并受到双重噪声的影响。

仿真

为了验证所提出的方法的性能，进行了相应的仿真实验，本节中给出。系统函数(1)的参数由

$$
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad
B = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix},\quad
C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}
$$

$$
Q_w = \begin{bmatrix} 0.1 & 0 \ 0 & 0.1 \end{bmatrix},\quad
R = 0.05,\quad
Q = \begin{bmatrix} 0.1 & -0.03 \ -0.03 & 0.3 \end{bmatrix},\quad
k = 0.29
$$

求解推论1的线性矩阵不等式优化问题，我们得到

$$
Y = \begin{bmatrix} 0.2663 & -0.0421 \ -0.0421 & 0.6300 \end{bmatrix},\quad
a = 0.1673,\quad
K = [-0.2761\quad -1.00]
$$

图2展示了采用状态反馈控制方案时周期性方法和提出的事件触发控制方法的结果。图2(a)显示了状态分量 $x_1$ 的结果，图2(b)显示了状态分量 $x_2$ 的结果，图2(c)显示了控制量 $u$ 的结果。

采用状态反馈的相同参数设计了输出反馈事件触发控制方案，即线性矩阵不等式的解

$$
Y = \begin{bmatrix} 0.2722 & -0.0382 \ -0.0382 & 0.6443 \end{bmatrix},\quad
a = 0.1719,\quad
K = -0.4557,\quad
k^\ast = 0.2987
$$

图3展示了使用输出反馈控制方案时周期性和提出的事件触发控制方法的结果。图3(a)显示了状态分量 $x_1$ 的结果，图3(b)显示了状态分量 $x_2$ 的结果，图3(c)显示了控制量 $u$ 的结果。

从图2和图3可以看出，使用周期性传输时系统的稳定性更好，但控制次数较多且每次的控制量较小。当采用所提出的事件触发传输时，系统状态幅值较大，但控制次数较少且每次的控制量较大。因此，在保持系统性能的前提下，提出的事件触发控制方法可以降低控制频率，从而达到平衡系统性能与控制频率的效果。输出反馈和状态反馈对应的上界指标和标量 $a$ 在表1中给出。

x1 ,(b) x2 和 (c) u)

x1 ,(b) x2 和(c) u)