37、二维Hurwitz多项式理论详解

二维Hurwitz多项式理论详解

1. 引言

二维（2 - D）信号和图像处理的发展推动了二维电路与系统领域的研究。二维（2 - V）或二维Hurwitz多项式的研究在多个领域有应用，如生成和测试二维电抗函数、有界/正实函数和矩阵，测试二维数字滤波器的稳定性，以及生成稳定的二维数字传递函数。稳定性分析是动态系统设计的重要方面，通常通过检查系统传递函数分母多项式在复平面特定区域是否存在零点来进行。一维（1 - D）系统通过判断分母多项式是否为Hurwitz多项式来研究，在此基础上可以定义和研究二维Hurwitz多项式。为满足不同应用需求，已定义了多种二维Hurwitz多项式并建立了测试方法。

2. 预备知识和符号说明

2.1 无穷远点

在（S1, S2）双平面中，无穷远点在某些二维Hurwitz多项式的定义中起着重要作用。一些应用中的混淆可能是由于忽略了这些无穷远点。这里考虑包含无穷远点的扩展（S1, S2）双平面，并明确指出所考虑区域是否包含无穷远点。文献中对二维多项式在无穷远点的行为有详细描述，一维平面（如S1平面或S2平面）上看似众多的无穷远点可视为合并为一个点，即无穷大被视为一个点，任何从该无穷远点的微小偏移都会到达有限远点。

2.2 模拟双平面

定义如下区域：
|符号|定义|
| ---- | ---- |
|Re(s)|变量s的实部|
|Si+|{si | Re(si) > 0, |si| < ∞}，Si平面的开右半平面|
|Sio|{si | Re(si) = 0, |si| ≤ ∞}，Si平面的虚轴|
|Si⁻|{si | Re(si) ≥ 0