35、信号流图理论：Coates与Mason方法解析

信号流图理论：Coates与Mason方法解析

1. 引言

信号流图理论旨在运用图论方法求解线性代数方程组。Coates和Mason提出的两种紧密相关的方法，为深入理解方程组解的结构和性质提供了优雅的途径。这两种方法可视为图论中Harary基本定理的推广，该定理给出了有向图邻接矩阵行列式的计算公式。

2. 有向图的邻接矩阵

2.1 邻接矩阵的定义

考虑无平行边的有向图 $G = (V, E)$，其中 $V = {v_1, …, v_n}$。其邻接矩阵 $M = [m_{ij}]$ 是一个 $n × n$ 矩阵，定义如下：
[
m_{ij} =
\begin{cases}
1, & \text{如果 } (v_i, v_j) \in E \
0, & \text{否则}
\end{cases}
]
例如，对于图8.1中的图，其邻接矩阵为：
[
M =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 1 & 1 \
1 & 1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
]

2.2 相关术语

• 1 - 因子 ：有向图 $G$ 的1 - 因子是 $G$ 的一个生成子图，其中每个顶点的入度和出度都等于1。可以看出，1 - 因子是