21、奇异摄动问题数值解法与遗传算法在分形测度计算中的应用

奇异摄动问题数值解法与遗传算法在分形测度计算中的应用

奇异摄动问题的二阶迎风差分格式

在神经网络中，一类带有积分边界条件的一阶奇异摄动拟线性边值问题备受关注。该问题可表示为：
[
\begin{cases}
\varepsilon u’(t) + f(t, u) = 0, & t \in [0, 1) \
u(0) = \mu u(1) + \int_{0}^{1} b(s)u(s) ds + d
\end{cases}
]
其中，(0 < \varepsilon \ll 1) 是摄动参数，(\mu) 和 (d) 是给定常数，(b(t)) 和 (f(t, u)) 是满足一定连续可微条件的函数，且满足 ( \frac{\partial f}{\partial u} \geq \alpha > 0) 和 ( \mu + |b|_{\infty} < 1)。在这些假设下，问题有唯一解，且通常在 (t = 0) 处存在宽度为 (O(\varepsilon)) 的边界层。

由于解的边界层行为，奇异摄动问题的数值分析一直颇具挑战。此前，有学者提出了基于 Shishkin 网格的有限差分格式，但该格式在离散最大范数下仅几乎一阶收敛。为了改进这一情况，我们提出了一种混合迎风差分格式，该格式在离散最大范数下几乎二阶收敛，且与奇异摄动参数无关。

具体步骤如下：
1. 精确解的性质 ：为了正确构造层适应网格，需要了解精确解的渐近行为。对于问题的解 (u(t))，有 (|u^{(k)}(t)| \leq C e^{-\frac{\alpha t}{\vareps