c语言第八课（树）

#define ElementType int

struct BinaryTreeNode

{

    ElementType data;

    struct BinaryTreeNode *left;       //树的左孩子

    struct BinaryTreeNode *right;      //树的右孩子

    struct BinaryTreeNode *parent;    //树的双亲

};

typedef struct BinaryTreeNode BTNode;

1.树：元素之间具有分层类似的结构，由于结构特征，常采用递归方式定义。

树的定义：除根结点外，每个结点有一个前驱结点，除叶子外，每个结点都有至少一个后驱结点。
基本术语：

结点：树中的元素，

路径：从根结点到叶子是一条路径，每棵树有多条路径。

双亲：每个结点的前驱称为该结点的双亲，根结点没有双亲。

孩子：每个结点的子节点，即它的后驱称为该结点的孩子，叶子没有孩子。

兄弟：有相同双亲的结点互为兄弟。

后裔：一个结点的所以子数都为该结点的后裔。

祖先：从根到该结点路径上的所以结点都是该结点的祖先，双亲也是它的祖先之一。

结点的度：结点拥有的后驱数（子节点数）

叶子：度为0的结点，没有后驱的节点，也可以说所有分支的最后一个结点都是叶子。

分支结点：度不为0的结点（不是叶子都是分支结点）

树的度：树中结点的最大的度，即为树的度。也可以说是树的最大分支数。

结点层次：根结点为1，其余为双亲层次加一，即本身为第几层。

树的高度：一棵树的最大层次。

int GetTreeHeight(BTNode* node)

{

    if(node==NULL)

       return 0;

       int leftHeight=GetTreeHeight(node->left);

       int rightHeight=GetTreeHeight(node->right);

       return (leftHeight>rightHeight? leftHeight:rightHeight)+1;

}

无序树：任意子树之间的次序不重要，可以交换位置。

有序树：树中结点从左到右有次序的。

森林：是树的集合，0个或多个不相交的树组成森林。

2、二叉树

定义：结点的有限次数（可以为空）或是由一个根与两个互不相交的子树，称为该树的左子树与右子树

ps：树中可以有多颗子树，而二叉树最多只能有两个子树。

性质：二叉树最多可以有2n-1个节点，当n=0时，该树为空二叉树。

高度：包含n个元素的二叉树的高度至少为[log2(n+1)]，并且，平衡二叉树的最大检索次数也为[log2(n+1)]。

叶子：叶子的个数一定比度为2的结点多1。

路径（边）：路径（边）为n-1条。

满二叉树：高为n的二叉树恰为2n-1个结点的树

完全二叉树：只有最下两层结点的度可以小于二，且最小层集中在左边。

完全二叉树高度[log2(n+1)]

1. 遍历算法

先序遍历：先访问根，再遍历左子树，最后遍历右子树

void PrevPrint(BTNode *node)

{

    if(node!=NULL)

    {

      printf("%d ",node->data);

      PrevPrint(node->left);

      PrevPrint(node->right);

    }

}

中序遍历：先遍历左子树，再访问根，最后遍历右子树

void MidPrint(BTNode *node)

{

    if(node!=NULL)

    {

      MidPrint(node->left);

      printf("%d ",node->data);

      MidPrint(node->right);

    }

}

后序遍历：先遍历左子树，再遍历右子树，最后访问根

void PostPrint(BTNode *node)

{

    if(node!=NULL)

    {

      PostPrint(node->left);

      PostPrint(node->right);

      printf("%d ",node->data);

    }

}

1. 平衡二叉树（AVL）（红黑树）

定义：左右子树的高度差不超过1。
左左插入：（在左子树的左边插入）：右旋

 BTNode* RotateRight(BTNode* node)

{

    BTNode *t=node->left;    

    node->left=t->right;

    t->right=node;

    return t;

}

右右插入：（在右子树的右边插入）：左旋

BTNode* RotateLeft(BTNode* node)

{

    BTNode *t=node->right;

    node->right=t->left;

    t->left=node;

    return t;

}

左右插入：（在左子树的右边插入）左右旋（先左旋再右旋）

BTNode* RotateLeftRight(BTNode* node)

{

    node->left=RotateLeft(node->left);

    return RotateRight(node);

}

右左插入：（在右子树的左边插入）右左旋（先右旋再左旋）

BTNode* RotateRightLeft(BTNode* node)

{

    node->right=RotateRight(node->right);

    return RotateLeft(node);

}

树的删除：

void DeleteElement(LBTree *tree, ElementType element)

{

    BTNode *targetNode=SearchNode(tree->root,element);

    if(targetNode==NULL)

    return ;

    if(targetNode->left==NULL&&targetNode->right==NULL)

    {//如果左右子树都为空，判断本身为双亲的那边的子树，然后将指向待删结点的指针指向空

       if(targetNode->parent->left==targetNode)

        targetNode->parent->left=NULL;

        else

        targetNode->parent->right=NULL;

        free(targetNode);

    }

    else if(targetNode->right==NULL)

    {//如果右子树为空，判断本身为双亲的那边的子树，将待删结点的左子树指向待删结点的指针指向它的双亲，最后放掉内存

        targetNode->left->parent=targetNode->parent;

        if(targetNode->parent->left==targetNode)

        targetNode->parent->left=targetNode->left;

        else

        targetNode->parent->right=targetNode->left;

        free(targetNode);

    }

    else if(targetNode->left==NULL)

    {//如果左子树为空，判断本身为双亲的那边的子树，将待删结点的右子树指向待删结点的指针指向它的双亲，最后放掉内存

        targetNode->right->parent=targetNode->parent;

        if(targetNode->parent->right==targetNode)

        targetNode->parent->right=targetNode->right;

        else

        targetNode->parent->left=targetNode->right;

        free(targetNode);

    }

    else if(targetNode->left!=NULL&&targetNode->right!=NULL)

    {//如果左右子树都不为空，则找右子树的最小值

        BTNode *MinNode=targetNode->right;

      //不断向带删结点右子树的左子树遍历，直到个左子树指向空

        while(MinNode->left!=NULL)

        {

            MinNode=MinNode->left;

        }   

         //将右子树的最小值和待删结点的值替换

        targetNode->data=MinNode->data;

        if(MinNode->parent!=targetNode)

        {//如果最小值的双亲不是待删结点，则指向最小值的指针指向最小值的右孩子

            MinNode->parent->left=MinNode->right;

        }

        else

        {  

 //如果最小值双亲为待删结点，即待删结点的右子树没有左孩子

直接将待删结点右孩子的指针指向最小值的右孩子

  targetNode->right=MinNode->right;

        }

        free(MinNode);

    }

}