力扣刷题DAY7（动态规划/中等）

一、爬楼梯

爬楼梯

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int p = 1;
        int q = 2;
        if (n == p)
            return p;
        else if (n == q)
            return q;
        else {
            int r;
            for (int i = 3; i <= n; i++) {
                r = p + q;
                p = q;
                q = r;
            }
            return r;
        }
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：循环执行 n 次，每次花费常数的时间代价，故渐进时间复杂度为 O(n)。
• 空间复杂度：这里只用了常数个变量作为辅助空间，故渐进空间复杂度为 O(1)。

二、杨辉三角

杨辉三角

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> generate(int numRows) {
        if (numRows == 0) return {}; // 处理 0 行的情况

        vector<vector<int>> ans; 
        for (int i = 0; i < numRows; i++) {
            vector<int> oneans(i + 1, 1); // 每次都直接初始化当前行

            for (int j = 1; j < i; j++) { // 计算中间部分
                oneans[j] = ans[i - 1][j - 1] + ans[i - 1][j];
            }

            ans.emplace_back(oneans); // 存入结果
        }
        return ans;
    }
};

三、打家劫舍

打家劫舍

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int f1 = nums[0];
        int ans = f1;
        if (n == 1)
            return nums[0];
        int f0 = 0;
        int newf = 0;
        for (int i = 2; i <= nums.size(); i++) {
            newf = max(f0 + nums[i - 1], f1);
            f0 = f1;
            f1 = newf;
        }
        return newf;
    }
};

思路：偷：newf = 上上个状态+nums[i]；不偷： newf = 上个状态。

四、01背包问题

01背包问题

二维版本：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int dp[N][N];
int v[N], w[N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(j >= v[i]) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }

    cout << dp[n][m];
    return 0;
}

作者：断然
链接：https://www.acwing.com/solution/content/116859/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

一维版本：

题解参考：降维题解

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int dp[N];
int v[N], w[N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j --)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
    cout << dp[m];
    return 0;
}

作者：断然
链接：https://www.acwing.com/solution/content/116859/
来源：AcWing
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五、完全背包问题

完全背包问题

暴力版：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = 0 ; j<=m ;j++)
    {
        for(int k = 0 ; k*v[i]<=j ; k++)
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
    }

    cout<<f[n][m]<<endl;
}


作者：Charles__
链接：https://www.acwing.com/solution/content/5345/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

优化版：

参考 优化题解

for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if(j-v[i]>=0)
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);

对比01背包的非优化写法 

for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if(j-v[i]>=0)
        f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}

这里为什么可以从小到大枚举？就是因为二者递归方程的重要不同，01背包要用上一次的，而完全背包必须用更新过后的，正好j严格大于j-v[i]，所以正好更新过了。

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
    cout<<f[m]<<endl;
}


作者：Charles__
链接：https://www.acwing.com/solution/content/5345/
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著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。