二叉平衡搜索树概念
上一篇博客中讲解了二叉搜索树: C++ - 二叉搜索树讲解-优快云博客
我们了解到, 二叉搜索树的最坏时间复杂度为 O(N). (插入的顺序是有序的)
所以在实际中, 直接使用二叉搜索树的情况很少.
那么为了解决二叉搜索树这种最坏情况, 就有大佬提出了 AVL 树.
AVL 树又称为 二叉平衡搜索树, 可以看到, 多了两个字 "平衡".
那么平衡是什么意思:
之前的二叉搜索树在插入顺序是有序的情况下, 会形成一个链表的结构, 从而导致查找的时间复杂度变为 O(N).
那么如果我们在插入的时候, 顺便调整这棵树, 让它始终保持一个利于查询的形态, 那么问题就解决了.
二叉平衡搜索树特性
"平衡": 要保证任意一个节点的左右两边的子树的高度差不超过 1 ( |右树高度 - 左树高度| <= 1).
当我们规定了每个节点的左右子树高度差不超过 1 之后,
就能使得二叉树的搜索的时间复杂度稳定在 O(log n)了,
当我们插入节点破坏 "平衡之后", 就需要去进行 "旋转" 来调节树
二叉平衡搜索树基本框架
AVL 树的节点的定义:
和之前的搜索二叉树比较, 多了两个值:
1. 一个平衡因子 (_balancefactor )
2. 指向父节点的指针 (_parent)
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const std::pair<K, V>& kv)
:_data(kv)
{}
~AVLTreeNode()
{}
AVLTreeNode<K, V>* _left = nullptr; // 指向左孩子
AVLTreeNode<K, V>* _right = nullptr; // 指向右孩子
AVLTreeNode<K, V>* _parent = nullptr; // 指向父节点
std::pair<K, V> _data; // 存储数据
int _balancefactor = 0; // 平衡因子
};AVL 树定义
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
AVLTree()
{}
~AVLTree()
{}
private:
Node* _root = nullptr; // 根节点
};二叉平衡搜索树的插入
插入总结有三个步骤:
- 按照二叉树规则找到插入位置, 并插入数据
- 数据插入完毕后, 更新平衡因子
- 检查平衡因子, 平衡因子不正确, 采取相应的措施
更新平衡因子:
- 如果新插入节点在左边, 那么父节点 balance - 1
新增节点在右边, 那么父节点 balance + 1 - 更新完成后, 如果父节点的 balance != 0
那么说明数的高度发生了变化, 需要向上更新
可以看到, 当我们插入 0 这个节点后, 5 节点的左右子树高度差超过了 1,
所以接下来我们就需要去调整树的结构 "旋转".
1. 更新 balance
旋转过程比较复杂, 这里先给出更新 balance 的代码.
bool insert(const std::pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr) // 如果树为空, 那么直接插入, 并且要更新根节点
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr; // 记录要插入位置的父节点
Node* cur = _root; // 查找要插入的位置
while (cur)
{
if (cur->_data.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_data.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
if (parent->_data.first > kv.first) // 判断要插入在 parent 的左边还是右边
{
cur = new Node(kv);
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
cur = new Node(kv);
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
while (parent) // 插入完成后, 需要更新可能会被影响的父节点的平衡因子
{
if (parent->_left == cur) // 如果插入的节点位于 parent 的左边, 那么 balance - 1
{
--parent->_balancefactor;
}
else // 如果插入的节点位于 parent 的左边, 那么 balance + 1
{
++parent->_balancefactor;
}
// 如果 balance 更新完成后为 0, 说明对于 parent 来说树的高度没有发生变化, 可以直接返回
if (parent->_balancefactor == 0)
{
return true;
}
else if (parent->_balancefactor == 1 || parent->_balancefactor == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_balancefactor == 2 || parent->_balancefactor == -2)
{
// 此时树已经不平衡了需要进行旋转, 这里是旋转的代码
}
else
{
perror("_balancefactor error\n");
assert(false);
}
}
return true;
}2. 旋转调整
旋转又存在着四种旋转方式:
- 左单旋
- 右单旋
- 左右双旋
- 右左双旋
首先来看简单的两种旋转方式: 左单旋和右单旋.
下面给出这两种双旋的代码, 代码中的变量和图中变量也是对应的, 方便理解
void RotateL(Node* parent) // 左旋
{
Node* subr = parent->_right;
Node* subrl = subr->_left; // 上面的图中, 是没有画这个节点的, 但是有可能会存在这个点的
if (_root == parent) //
{
_root = subr;
subr->_parent = nullptr;
subr->_left = parent;
parent->_parent = subr;
parent->_right = subrl;
if (subrl != nullptr) // 判断这个点是否存在, 如果存在则也需要连接上
{
subrl->_parent = parent;
}
}
else
{
Node* pparent = parent->_parent;
if (pparent->_left == parent)
{
pparent->_left = subr;
}
else
{
pparent->_right = subr;
}
subr->_parent = pparent;
subr->_left = parent;
parent->_parent = subr;
parent->_right = subrl;
if (subrl != nullptr)
{
subrl->_parent = parent;
}
}
parent->_balancefactor = subr->_balancefactor = 0;
}
void RotateR(Node* parent) // 右旋
{
Node* subl = parent->_left;
Node* sublr = subl->_right;
if (parent == _root)
{
_root = subl;
subl->_parent = nullptr;
subl->_right = parent;
parent->_parent = subl;
parent->_left = sublr;
if (sublr != nullptr)
{
sublr->_parent = parent;
}
}
else
{
Node* pparent = parent->_parent;
if (pparent->_left == parent)
{
pparent->_left = subl;
}
else
{
pparent->_right = subl;
}
subl->_parent = pparent;
subl->_right = parent;
parent->_left = sublr;
parent->_parent = subl;
if (sublr != nullptr)
{
sublr->_parent = parent;
}
}
parent->_balancefactor = subl->_balancefactor = 0;
}左右双旋适用于一下所有情况:
左单旋
右单旋
接下来还有左右双旋和右左双旋:
左右双旋: 先左旋, 再右旋
右左双旋: 先右旋, 再左旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subl = parent->_left;
Node* sublr = subl->_right;
int bf = sublr->_balancefactor;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_balancefactor = subl->_balancefactor = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subl->_balancefactor = -1;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_balancefactor = 1;
}
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subr = parent->_right;
Node* subrl = subr->_left;
int bf = subrl->_balancefactor;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_balancefactor = subr->_balancefactor = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_balancefactor = -1;
subrl = 0;
}
else if (bf == -1)
{
subr->_balancefactor = 1;
}
}左右双旋:
右左双旋:
插入完整的代码放在这里
bool insert(const std::pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_data.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_data.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
if (parent->_data.first > kv.first)
{
cur = new Node(kv);
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
cur = new Node(kv);
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
while (parent)
{
if (parent->_left == cur)
{
--parent->_balancefactor;
}
else
{
++parent->_balancefactor;
}
if (parent->_balancefactor == 0)
{
return true;
}
else if (parent->_balancefactor == 1 || parent->_balancefactor == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_balancefactor == 2 || parent->_balancefactor == -2)
{
// 旋转代码
if (parent->_balancefactor == 2 && parent->_right->_balancefactor == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_balancefactor == -2 && parent->_left->_balancefactor == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_balancefactor == 2 && parent->_right->_balancefactor == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else if(parent->_balancefactor == -2 && parent->_left->_balancefactor == 1)
{
RotateLR(parent);
}
break;
}
else
{
perror("_balancefactor error\n");
assert(false);
}
}
return true;
}
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