2024APMCM亚太杯国际赛C题_2024apmcm c题赛题-优快云博客

近年来，随着城市化率的提高和居民收入水平的增加，中国及全球宠物行业迎来了快速发展。宠物猫和狗的数量显著增长，与之相关的宠物食品市场规模也迅速扩大。然而，全球市场需求变化以及贸易政策的影响为行业发展带来了新机遇与挑战。本文通过分析宠物行业的历史数据，采用数学建模方法，针对宠物数量增长趋势、食品需求预测、生产与出口规模以及关税政策的影响进行全面研究，为行业未来发展提供科学预测和决策依据。

问题一，通过对中国宠物市场中猫狗数量变化的回归分析，建立了以市场规模、饲料需求、市场收入和饲料产量为特征的回归模型，预测了未来三年猫狗数量的变化趋势，发现宠物猫数量持续增长，而宠物狗数量呈下降趋势。

问题二，针对国际市场，本文分析了美国、法国和德国的宠物数量变化，并结合国际市场收入数据建立了多元回归模型，预测各国宠物数量的未来走势。分析表明，美国宠物数量持续下降，法国和德国的宠物数量则在缓慢增长。

问题三，本文还通过时间序列分析预测了全球宠物食品需求量，结果显示未来几年需求将稳步上升。针对中国宠物食品的生产和出口，建立了多元线性回归模型，分析了生产与市场需求之间的关系，发现中国宠物食品的生产量与出口量之间存在负反馈关系。

问题四，本文提出了综合影响模型，通过分析关税和汇率对出口额的影响，提出了优化出口策略的可持续发展方案，以应对国际贸易中的挑战。研究结果为宠物产业的发展战略和国际市场的扩展提供了理论支持和数据依据。

1问题1的模型建立与求解

1.1 宠物数据分析

我们根据题目提供的表格信息，通过可视化对过去五年内的猫狗的数量进行分析，可视化结果如图1：

图一：五年内猫狗的变化趋势

结合中国发展趋势，对比宠物狗与宠物猫的数量，对宠物猫数量超过宠物狗进行分析：

1、宠物猫的独立性较强，它们不像宠物狗那样需要定期外出散步，这使得宠物猫成为忙碌都市人的理想选择，既能够提供陪伴，又不会给主人带来额外的负担。

2、由于通常宠物猫的食量小于宠物狗，因此在同等经济条件和养宠预算下，宠物猫的主人能够为他们提供更好的食物和更精细的照顾，符合精细化养宠趋势。

3、宠物猫的体型小，对于居住空间有限的城市居民来说，养猫比养狗更为方便。

1.2 数量影响的可能性分析

通过对宠物数量的分析，我们将从市场规模、饲料需求、市场收入、饲料产量这四个方面分析与宠物狗猫数量的相关程度。

我们避免复杂程度对数据特征进行代换。市场规模、饲料需求、市场收入、饲料产量分别表示为x1，x2，x3，x4这四种情况。

我们通过热力图分析相关性的程度。热力图如图2：

图2：问题一热力图相关性分析图

通过值大于0.96的情况来看，与宠物数量相关的特征值有x2（饲料需求）、x3（市场收入）、x4（饲料产量）这三种影响我们宠物数量的变化。

1.3 回归模型建立

依据特征值的相关系我们建立数学模型，

（1）初步模型建立与训练

对于每个目标变量x2, x3, x4，分别创建了一个线性回归模型（`model_x2`, `model_x3`, `model_x4`），并使用年份作为唯一的特征对模型进行了训练。这实际上是尝试找到年份与各目标变量之间的线性关系，即：

其中，

y是目标变量（x2, x3 或 x4），

$\beta 0$ 是截距项，

$\beta 1$ 是年份的系数。

（2）未来预测

利用训练好的模型，对2024至2026年的x2, x3, x4值进行了预测。这是基于假设过去年份与目标变量之间的线性关系在未来仍然成立。

（3）复杂模型建立与训练

之后，代码再次从数据集中提取了x2, x3, x4作为特征X，并提取了两个新的目标变量cat和dog。为这两个目标变量分别建立了线性回归模型（`rf_cat`, `rf_dog`），并用x2, x3, x4作为输入特征对模型进行了训练。这里的目标是找出x2, x3, x4与cat或dog之间的线性关系，即：

其中，y是目标变量（cat或dog），

$\beta 0$ 是截距项，

$\beta 1$ ， $\beta 2$ ， $\beta 3$ 分别是x2, x3, x4的系数。

（4）最终预测

最后，使用之前对未来三年x2, x3, x4的预测值作为输入，通过训练好的模型`rf_cat` 和 `rf_dog` 对未来三年的cat和dog数量进行了预测，并输出预测结果以及对应的年份。

1.4 结果

通过回归模型，预测结果如下：

Year	Cat	Dog
2024	7755	5073
2025	8433	5000
2026	9112	4928

依据未来的结果支撑，发现宠物狗的数量在持续减少，而宠物猫的数量在持续增加。未来宠物猫的数量可能会持续增加。

2问题2的模型建立与求解

2.1 各国宠物数量分析

依据表格三个国家的数据我们对这三个国家的宠物数量进行可视化并分析宠物的发展趋势。各国数量变化如下图，图3所示：

图3三个国家宠物数量变化图

通过观察三个国家的宠物数量变化发现，美国宠物数量变化比较活跃，具体应当通过实际情况进行分析。

2.2变化幅度的相关性分析

依据数量的变化，分析可能存在的影响因素，应当与国际市场的收入有关，我们通过市场规模、饲料需求、市场收入、饲料产量，国际市场收入详情（分别为x1，x2，x3，x4，x5），数量包括美国（猫的数量cat1，狗的数量dog1）、法国（猫的数量cat2，狗的数量dog2）、德国（猫的数量cat3，狗的数量dog3）设置相关分析图，热力分析图如图4：

图4: 各国宠物数量热力分析图

通过分析热力图结果以及颜色分布，通过观察，市场规模仍然不会对宠物的数量有太大的影响。我们需要通过观察得到，与数量密切相关的任然是有x2（饲料产量）、x3（市场收入）、x4（饲料产量）、x5（国际市场收入）这四类特征值。我们通过特征值对未来数据进行预测，分析未来宠物市场的规模。

2.3多元回归模型建立

问题二是在问题一的基础上对线型回归进行扩展，在多个自变量的情况，线性回归模型可以扩展为多元线性回归。具体目标方程为：

其中

y2未来三年猫狗的数量；

表示n个不同的自变量（例如，x2，x3，x4，x5），每个自变量都有一个对应的系数 $\beta i$ ，表示该自变量对因变量的影响程度。

同时问题二需要分析全球的宠物对于食品的需求，我们依据于时间序列构建模型预测未来三年内宠物对食品的需求量。

我们通过对过去时间的宠物食品需求量进行收集，我们建立基于时间序列的回归模型。预测国际宠物食品需求量，即计算宠物食品的收入情况。

2.4结果

（1）基于多元线型回归模型，我们计算未来各个国家宠物数量的变化：

	America		France		Germany
Year/kinds	Cat1	Dog1	Cat2	Dog2	Cat3	Dog3
2024	7060	8249	1706	948	1605	1065
2025	6740	8104	1778	997	1620	1072
2026	6420	7959	1850	1045	1635	1079

依据预测结果，我们通过分析各国数量结果如下：

美国：猫和狗的的数量在持续下降；

法国：猫和狗的数量在缓慢增长；

德国：猫的数量在恢复，狗的数量在非常缓慢地增长，很有可能数量会保持平稳。

依据宠物数据的变化，我们分析出未来宠物食品的需求量将稳步增长。

依据时间序列的回归模型，我们对全球宠物食品需求量预测，即宠物食品的收入情况，预测结果如下：

依据市场份额推算，全球需求量：

2024年：约1417000吨；

2025年：约1519000吨；

2024年：约1621000吨；

3问题3的模型建立与求解

3.1已知数据分析

分析表格3的数据变化情况，我们通过数据可视化绘制出数据的变化折现图，如图5：

图5 生产以及出口数据变化情况

通过分析数据图像，中国市场的宠物食品生产规模日益增多，对外出口食品数量一直保持平稳。通过分析中国宠物食品市场主要保证中国宠物生存的可持续发展。

我们通过热力图分析市场与产量和对外出口的相关程度。热力图如图6：

通过分析对外出口与市场的变化没有关系，食品产量与市场的变化有着密切的关系特征。

3.2预测模型的建立

问题三同样是在问题一的基础上对线型回归进行扩展，在多个自变量的情况，线性回归模型可以扩展为多元线性回归。具体目标方程为：

其中

y3目标值变化为宠物食品生产量，或出口量

表示n个不同的自变量（例如，x1中国市场收入，x2国际市场收入），每个自变量都有一个对应的系数 $\beta i$ ，表示该自变量对因变量的影响程度。

3.3预测结果

通过预测计算，结果如下：

Year	Production	Export
2024	3044	-21
2025	3591	-44
2026	4138	-67

出口量不可能为负数，所以舍弃出口的结果。可以看出宠物食品出口贸易应该是一直保持平稳。

分析产品的产量，得到分析结果：

中国市场生产宠物食品增加将会造成对外出口有负反馈，中国市场的需求增加可能会减少对外的出口宠物食品。

4问题4的模型建立与求解

4.1综合影响模型的建立

为了解决国外出口的关税问题，我们以美元最为汇率计算，建立模型

（1）基于关税的模型：构建一个简单的线性回归模型，用关税水平预测出口额，即出口额与关税之间存在线性关系，回归方程表示为：

其中

E是第t年的出口额

T是第t年的关税水平

$\beta 0$ 是截距项；

$\beta 1$ 是关税水平的系数

$\varepsilon$ 是误差项

（2）汇率影响模型：同样的，构建线性回归模型，用汇率预测出口额，回归方程表示为：

其中

E是第t年的出口额

R是第t年的关税水平

$\gamma 0$ 是截距项；

$\gamma 1$ 是关税水平的系数

$\varepsilon$ 是误差项

（3）综合模型：通过考虑关税和汇率两个因素对出口额的综合影响，使用多元线性回归模型，多元回归方程表示为：

其中

E是第t年的出口额

T是第t年的关税水平

R是第t年的汇率

$\gamma 0$ 是截距项；

$\gamma 1$ 是关税水平的系数

$\varepsilon$ 是误差项

4.2综合模型求解影响预测

通过计算可视化出关税与汇率的变化图像，如图7：

图7关税和汇率对出口额的影响预测图

依据图像结果上图为关税与出口额的变化关系图，下图为汇率与出口额的变化关系图可知：

关税的增加会增加出口额的数量，应该是需要通过增加出口额的目的来减少成本的消耗。

汇率的不断增加会减少出口额的数量，应当是通过出口减少汇率带来的成本压力。

我们再通过综合模型组合关税和汇率的变化与出口额的变化关系图，如图8

这是横坐标代表关税水平，即综合模型下发现关税水平不断增加的情况下，出口额不断增加，因此在关税水平为0.1时，汇率对出口额的变化最明显。

4.3可持续发展方案

依据问题建模的图像结果可持续发展方案如下：

（1）构建多元化市场，减少对单一市场的依赖，分散风险。积极开拓新的国际市场，特别是那些对关税敏感度较低或有自由贸易协定的国家和地区。

（2）提高产品附加值，增强产品在全球市场的竞争力。投资于研发，提升产品质量和技术含量，开发高附加值的产品和服务。

（3）优化成本结构，降低生产成本，提高利润率。采用先进的生产技术和管理方法，提高效率；优化供应链管理，减少物流成本。

（4）适应汇率波动，减轻汇率波动对出口业务的影响。利用金融工具如远期合约、期权等进行汇率风险管理；适时调整定价策略以应对汇率变动。

（5）政策支持与合作，获取政府政策的支持，促进国际贸易合作。积极参与政府间的贸易谈判，争取更有利的关税政策；利用政府提供的出口信贷、保险等服务。