算法学习之回溯算法：通过一个例子学会回溯算法—

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👋 大家好！今天我们来学习回溯算法

回溯算法（Backtracking） 是一种非常强大的算法，它通过穷举法尝试每种可能的解，并逐步构建问题的解空间树。在每一步中，回溯算法会判断当前选择是否合法，如果不合法，就回溯到上一步，尝试其他选项。回溯算法广泛应用于组合优化、约束满足问题、排列组合等场景。今天，我们将通过一个通俗易懂的例子来学习回溯算法的核心思想和应用。🎯

什么是回溯算法？ 🤔

回溯算法的核心思想是 “试探 + 剪枝”。具体来说，回溯算法通过穷举法逐步构建问题的解，但在每一步，如果发现当前路径不能继续下去（即不满足问题的约束），就会回退到上一步，尝试其他可能的选择。这种方法在解空间树中进行遍历，因此它适用于解决需要找出所有解的组合问题。

回溯算法通过 “剪枝” 来减少不必要的计算，从而提高算法的效率。💡

回溯算法的基本步骤：

选择：做出选择，决定当前步骤的操作。
约束：判断选择是否合法。
完成：如果达到了问题的终止条件，保存解并返回。
回溯：如果当前选择无解或不能继续，撤销当前选择，回到上一步。

回溯算法的应用场景 📂

回溯算法特别适合用来解决一些典型的组合问题，特别是那些需要寻找所有解的情况。常见的应用场景包括：

排列问题：如求解全排列。
组合问题：如求解组合数。
约束满足问题：如八皇后问题、数独问题。
图遍历问题：如深度优先搜索（DFS）等。

今天，我们通过一个经典的 整数拆分问题 来深入理解回溯算法的应用。

通过一个例子理解回溯算法 💡

问题描述：整数拆分

给定一个整数 ( N )，我们需要将 ( N ) 拆分为多个正整数之和，并要求拆分的方式不能重复。两种拆分方式视为相同，如果它们的组成数字相同，只是顺序不同。我们的目标是列出所有不重复的拆分方式。

输入输出：

输入：一个整数 ( N )。
输出：所有不重复的拆分方式。

例如，对于 ( N = 6 )，所有不重复的拆分方式为：

6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
6 = 1 + 1 + 1 + 2
6 = 1 + 1 + 3
6 = 1 + 2 + 2
6 = 1 + 5
6 = 2 + 2 + 2
6 = 2 + 4
6 = 3 + 3
6 = 6

解题思路：回溯法

选择：每次选择一个数字 ( i )，从 1 到 ( N ) 之间，加入当前拆分方案。
约束：加入的数字必须满足不小于上一个加入的数字（从小到大避免重复）。
完成：当 ( N ) 被拆分完（即剩余值为 0），记录下当前的拆分方案。
回溯：如果当前方案不合法（剩余值为负），则撤销选择，回到上一状态，继续尝试其他数字。

代码实现 👨‍💻

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 回溯函数：n 为当前剩余值，start 为当前可以选择的最小数字
void findPartitions(int n, int start, vector<int>& current, vector<vector<int>>& results) {
    // 如果剩余值为 0，保存当前方案
    if (n == 0) {
        results.push_back(current);
        return;
    }

    // 从起始值开始尝试分割
    for (int i = start; i <= n; ++i) {
        current.push_back(i); // 添加当前数字到拆分方案
        findPartitions(n - i, i, current, results); // 递归求解剩余部分
        current.pop_back(); // 回溯
    }
}

int main() {
    int N;
    cin >> N;

    vector<int> current;          // 当前拆分方案
    vector<vector<int>> results;  // 所有拆分方案

    // 找到所有不重复的拆分
    findPartitions(N, 1, current, results);

    // 按格式输出结果
    for (const auto& partition : results) {
        cout << N << "=";
        for (size_t i = 0; i < partition.size(); ++i) {
            cout << partition[i];
            if (i != partition.size() - 1) cout << "+";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

代码解析 🔍

findPartitions 函数：这是回溯的核心函数，它递归地选择数字进行拆分，直到剩余值为 0。每次递归时，加入一个数字并继续拆分剩余值，直到拆分完成。
start 参数：确保每次递归选择的数字不小于上一次选择的数字，从而避免重复的拆分方式。这个关键参数帮助我们避免重复。
回溯：每当递归回到上一状态时，current.pop_back() 会移除当前拆分方案的最后一个数字，撤销选择。

样例输出 🎉

输入：

输出：

6=1+1+1+1+1+1
6=1+1+1+2
6=1+1+3
6=1+2+2
6=1+5
6=2+2+2
6=2+4
6=3+3
6=6

总结回溯算法的关键点 🏁

递归回溯：回溯算法本质上是递归求解问题，在每个步骤选择合适的候选项，并在后续步骤判断当前路径是否能够继续。
剪枝优化：回溯算法并非简单的穷举，它通过剪枝避免了很多不必要的计算。例如，在本题中，确保每次选择的数字不小于上一个选择的数字，从而避免了重复的拆分方案。
全局状态：在递归函数中，我们通过一个全局状态（如当前拆分的数字集合）来维护整个解的过程。