Hashing 2

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• 标题：Hashing II:
  • Universal hashing functions（通用哈希函数）
  • String matching（字符串匹配）
  • Table doubling（表扩容/加倍）
• 这表示这次要重点讲三个话题：
  1. 更多的通用哈希函数的例子与原理；
  2. 字符串匹配里常见的 Rabin-Karp 算法（它也用到哈希思想）；
  3. 表扩容（又称摊销分析），解释哈希表如何动态扩大以保持良好性能。

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• Objective（目标）：
  1. Analyze selected topics in hashing：继续讨论哈希的一些重点话题；
  2. Universal hashing function examples：给出几个具体的通用哈希函数构造例子；
  3. String matching: the Rabin-Karp algorithm：用哈希思路做字符串模式匹配；
  4. Table doubling：进行摊销（amortized）成本分析，看插入/扩容是如何保持平均 \(O(1)\) 的。

通俗理解：本次课程主题是哈希的高级应用和更详细的性能分析，尤其是字符串匹配（Rabin-Karp）和哈希表扩容算法（table doubling）。

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• Universal hashing（通用哈希）的回顾：
  • 回到定义：若 \(H\) 是一族哈希函数，对任意两个不同键 \(k \neq r\)，落到同一个哈希值的函数数量不超过 \(|H|/m\)；也就是随机选一个函数 \(h\) 时，碰撞概率 \(\le 1/m\)。
  • 也就是：我们能“证明”可以构造这样的函数家族 \(H\) 来保证碰撞概率小。

通俗理解：这页就是重复/回顾之前讲过的通用哈希核心概念——通过随机选函数来降低任意两键碰撞的概率。

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• 标题：Universal hashing function examples（通用哈希函数举例）
• 从这一页开始，会展示一些具体的通用哈希函数是如何设计的。

通俗理解：前面都是概念，现在要看真正落地的“数学构造”。

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• Example 1: The matrix method
  • 假设键（keys）有 \(u\) 位（bit），哈希表大小 \(m = 2^b\)，也就是说索引只需要 \(b\) 位。
  • 我们随机生成一个 \(b \times u\) 的 0/1 矩阵 \(h\)，然后定义 \(h(x) = h \times x\)（矩阵乘法在模 2 下进行，即二进制加法）。
  • 声称：对任意不同 \(x \neq y\)，碰撞概率 \(\le 1/2^b = 1/m\)。

大白话：
把一个 \(u\)-bit 的输入当作 \(u\)-维向量 \(x\)，再乘上一个 \(b \times u\) 的随机 0/1 矩阵（在“模 2”意义下），结果就是一个 \(b\)-bit 的输出值（也就是在 \(m=2^b\) 范围内）。能证明这样做让碰撞概率很小。

 

 

 

 

 

第 20 页：总结

通俗解释

1. 通用哈希函数：
   • 易于构造，能有效降低碰撞概率。
2. 表扩容（Table Doubling）：
   • 解决动态哈希表存储的问题。
   • 让哈希表不会一直固定大小，而是按需增长。
3. 均摊分析（Amortized Analysis）：
   • 关键在于分摊高成本操作，让平均操作保持 O(1)。
4. Rolling Hash（滚动哈希）：
   • 主要用于字符串匹配，结合模运算提高搜索效率。

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出题

Q4 (English): What is the amortized cost per insert operation when using table doubling?

• (A) O(n)
• (B) O(log n)
• (C) O(1)
• (D) O(m)

✅ Answer: (C) O(1)

中文额外解释

Q: 为什么表扩容成本能均摊到 O(1)？

• 因为 虽然扩容操作是 O(n) 级别，但下一次扩容前，我们有 n 次 O(1) 级别的插入。
• 直觉理解：
  • 如果你每次都存钱（多存一点），那么突然有一天要花大钱时，你已经存够了，分摊到过去的存款上，每次存钱的平均花费仍然是小数目。