蓝桥杯题库练习3500阶乘求和

不要用循环到202320232023求阶乘，数值太大，会超时。

找规律：

1！=1；2！=2；3！= 6；4！=24；5！=120（1个0）；6！=720；7！=5040；8！=40320；9！=362880；

10！=3628800（2个0）；11！=39916800；12！=479001600；13！=6,227,020,800；14！=87178291200；15！=1,307,674,368,000（3个0）

1！到9！的值较小且末尾没有很多个零，从10！起得到的阶乘值会有多个末尾0，因为每个阶乘相乘过程中会有多个2、5因子（可以理解为2、5的倍数）相乘得到10，即在末尾增0。

找出那个n0，即n0!末尾有9个0，则在n>n0之后的阶乘对S的末尾9位无影响。

可以认为：阶乘的末尾零的数量取决于因子 5 的数量，因为因子 2 的数量总是超过因子 5 的数量。注意这里的因子5，是每多一个5，5，25（5*5），125（5*25）

由公式可知10！起有2个0，15！起有3个0，类推得20！为4个0，25！为6个0，30！有7个0，35！有8个0，40！有9个0，45！起有10个0

则只计算1！到39!即可

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
  // 请在此输入您的代码
  
  long long S=0;
  for(int i=1;i<40;i++)
  {
    long long n=1;
    for(int j=1;j<=i;j++)
    {
      n*=j;
      n%=1000000000;//注意这里，一定要对每个n取余避免溢出
    }
    
    S+=n;
    
  }
  cout<<S%1000000000;

  return 0;
}

注意：

首先，阶乘的值增长非常快：

• 10!=3628800
• 20!≈2.43×
• 30!≈2.65×
• 39!≈6.24×

这样大的数字对于计算机中的标准数据类型是很难处理的。如果你使用例如 long long （在大多数编译器中是 64 位），它的最大值大约是 1.84×。当计算到 20!或更大的 n!时，就可能会很轻易超出 long long 能表示的范围。 

如果没有 n %= 1000000000，在 n *= j 这一行，当 n 增大到超过 long long 的范围时，会发生整数溢出。溢出后得到的值将是不可预测的，通常是在该类型能够表达的最大值周围“绕回”到负数或小数，这导致后续的结果也是错误的。

通过在每次计算后取模，保持 n在 0 到 999999999的范围内，确保每次的计算结果都是有效和准确的。这样能有效避免整数溢出，同时，也能保持程序在整次计算过程中的稳定性。

若其中任何一个 n 由于溢出导致了错误的值，那么 S 将会反映这种错误，最终导致输出结果也是错误的。