主成分分析（PCA）原理详解

相关背景
在许多领域的研究和实际应用中，为了深入理解事物的本质和寻找潜在规律，研究者们经常需要对多个变量进行大量的观测和数据收集。这些多变量大样本的数据集虽然为分析提供了丰富的信息基础，但同时也带来了数据采集的高工作量和数据处理的复杂性。特别是当这些变量之间存在一定程度的相关性时，问题分析的难度会显著增加，因为单独分析每个指标往往难以提供全面而综合的见解。
 因此需要找到一个合理的方法，在减少需要分析的指标同时，尽量减少原指标包含信息的损失，以达到对所收集数据进行全面分析的目的。由于各变量间存在一定的相关关系，因此有可能用较少的综合指标分别综合存在于各变量中的各类信息。主成分分析与因子分析就属于这类降维的方法。

PCA降维实例
假设我们有一个包含四个二维数据点的数据集，数据点如下：

A(1, 2)
B(2, 3)
C(3, 1)
D(4, 2)
这些点分布在二维平面上，但我们的目标是使用PCA降维方法将它们映射到一条直线上，从而实现从二维到一维的降维。

以下是PCA降维的详细步骤：

1.数据预处理：
首先，我们需要将原始数据按列组成矩阵X。在本例中，矩阵X为：
1 2  
2 3  
3 1  
4 2
接着，对X矩阵的每一行进行零均值化，即减去该行的均值。计算得到每行的均值分别为2、2.25、2、2.5，零均值化后的数据为：
-1       0  
-0.25  0.75  
1         -1  
1.5      -0.5
2.求协方差矩阵及其特征值和特征向量：
计算零均值化后的数据的协方差矩阵C。在本例中，C为：
0.6875  0.3125  
0.3125  0.6875
接着，求解协方差矩阵C的特征值和特征向量。特征值λ1和λ2分别为1和0.375，对应的特征向量v1和v2分别为[0.707, 0.707]和[-0.707, 0.707]（已归一化）。
3.选择主成分并构建新的坐标系：
选择特征值较大的特征向量作为新的坐标系的基向量。在本例中，我们选择λ1对应的特征向量v1作为新的坐标系的基向量。
数据降维：
将原始数据投影到新的坐标系上，即计算原始数据与基向量的点积，得到降维后的数据。在本例中，降维后的数据为原始数据矩阵与v1的点积，即：
[-1 * 0.707 + 0 * 0.707, ...] = [-0.707, ...]  
[-0.25 * 0.707 + 0.75 * 0.707, ...] = [0.4607, ...]  
[1 * 0.707 + (-1) * 0.707, ...] = [0, ...]  
[1.5 * 0.707 + (-0.5) * 0.707, ...] = [0.707, ...]
由此，我们得到了降维后的一维数据：[-0.707, 0.4607, 0, 0.707]。
结果解释：
通过PCA降维，我们将原始二维数据成功降维到一维，同时尽可能地保留了数据中的主要信息。在这个例子中，新的一维数据可以看作是原始数据在最大方差方向（即主成分）上的投影。
通过上述实例，我们可以清晰地看到PCA降维的过程和效果，以及它在简化数据表示、降低计算复杂性方面的作用。

PCA推导
首先，我们考虑一个二维的场景，这里仅涉及两个变量，它们分别由横坐标和纵坐标来代表。因此，每个观测值都在这两个坐标轴上具有相应的坐标值。如果这些数据在二维平面上形成了一个椭圆形状的